Ejercicio 1
— Reto del triángulo de Pascal
Se pide: escribir las tres filas siguientes del arreglo mostrado, indicar qué número sigue al 1 en la fila 75, calcular la suma de la fila 20 y describir un patrón en las diagonales.
Parte 1.a
Tres filas siguientes
- La fila más baja mostrada es 1\;\;5\;\;10\;\;10\;\;5\;\;1.
- Cada término interior es la suma de los dos de arriba: 1+5=6, 5+10=15, 10+10=20, 10+5=15, 5+1=6.
- Fila 7: 1\;\;6\;\;15\;\;20\;\;15\;\;6\;\;1.
- Repitiendo: fila 8: 1\;\;7\;\;21\;\;35\;\;35\;\;21\;\;7\;\;1.
- Y fila 9: 1\;\;8\;\;28\;\;56\;\;70\;\;56\;\;28\;\;8\;\;1.
Respuesta
1\;6\;15\;20\;15\;6\;1; 1\;7\;21\;35\;35\;21\;7\;1; 1\;8\;28\;56\;70\;56\;28\;8\;1.
Parte 1.b
Número que sigue al 1 en la fila 75
- Cada fila comienza con 1 y el segundo término coincide con el índice de la fila menos uno (fila 2 → 1, fila 3 → 2, fila 4 → 3, fila 5 → 4).
- Patrón: el segundo término de la fila n es n-1.
- Para n=75: 75-1=74.
Respuesta
74.
Parte 1.c
Suma de la fila 20
- Filas: 1; 1+1=2; 1+2+1=4; 1+3+3+1=8; 1+4+6+4+1=16.
- La suma de la fila n es 2^{n-1} (fila n tiene 2^{n-1} unos distribuidos).
- Sustituyendo n=20: 2^{20-1}=2^{19}.
- 2^{19}=524\,288.
Respuesta
2^{19}=524\,288.
Parte 1.d
Patrón en las diagonales
- Primera diagonal: todos los valores son 1.
- Segunda diagonal: 1,2,3,4,5,\dots, los números naturales.
- Tercera diagonal: 1,3,6,10,15,\dots, los números triangulares, con T_n=\frac{n(n+1)}{2}.
- Cuarta diagonal: 1,4,10,20,35,\dots, números tetraédricos, Te_n=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}.
Respuesta
las diagonales generan naturales, triangulares y tetraédricos; la primera es constante igual a 1.
