Estrategias de resolución: modelo, ensayo y error, y suponer el problema resuelto

Crecimiento poblacional: con 33 millones de habitantes iniciales y una tasa anual del 5 %, ¿en cuánto tiempo se duplica la población?

1. Se plantea un modelo exponencial: P(t)=P_{0}(1+i)^{t}, con P_{0}=33 millones y i=0{,}05.
2. Duplicar significa P(t)=2\times 33=66 millones, así que se forma la ecuación 33(1{,}05)^{t}=66.
3. Se despeja la razón: (1{,}05)^{t}=\dfrac{66}{33}=2.
4. Se aplica logaritmo en ambos miembros: t\cdot\ln(1{,}05)=\ln 2, es decir, t=\dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}05}.
5. Sustituyendo: t=\dfrac{0{,}6931}{0{,}04879}\approx 14{,}21.

Al abrir un libro al azar, el producto de las dos páginas visibles vale 3192; se pide hallar dichas páginas.

1. En un libro las páginas consecutivas son n y n+1, de modo que n(n+1)=3192.
2. Acotación inicial: 50\times50=2500 (muy poco) y 60\times60=3600 (demasiado), luego n está entre 50 y 60.
3. Por el último dígito, el producto debe terminar en 2, descartando pares cuyo producto termina en 0, por ejemplo 55\times56.
4. Prueba con 53\times54=2862\ne3192; no cumple.
5. Prueba con 56\times57=3192; sí cumple.
6. Verificación algebraica: n^{2}+n-3192=0, con \Delta=1^{2}+4(3192)=12769=113^{2}, luego n=\dfrac{-1+113}{2}=56.

Construcción: trazar, solo con regla y compás, la tangente a una circunferencia de centro O desde un punto P exterior.

1. Se une P con O con una recta.
2. Se construye el punto medio M de PO (mediatriz de PO).
3. Con centro en M y radio MP=MO se traza una circunferencia auxiliar; ésta corta a la dada en dos puntos, uno de ellos T.
4. Se une P con T; la recta PT es la tangente pedida.
5. Justificación: \angle PTO=90^{\circ} porque está inscrito en un semicírculo (diámetro PO), es decir OT\perp PT. Como OT es radio, PT es tangente en T.