Semejanza y congruencia de triángulos: aplicaciones en terrenos, fotografía y recorridos

En un terreno triangular se coloca un cerco MN para dividir la zona de cebollas rojas (triángulo AMN) de la zona de zanahorias (cuadrilátero MBCN). Si MN es el doble de AM, ¿cuántos metros de malla se necesitan para cercar la zona de cebollas rojas?

Datos de la figura: AM = 4\,\text{m}, MB = 2\,\text{m}, MC = 8\,\text{m}, MN \parallel BC.

1. Como MN \parallel BC, los triángulos \triangle AMN y \triangle ABC son semejantes (criterio AA: \angle A común, \angle AMN = \angle ABC).
2. Por semejanza: \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}.
3. AB = AM + MB = 4 + 2 = 6\,\text{m}, entonces \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}.
4. AC = AN + NC. Con MC = 8\,\text{m} y AN = \dfrac{2}{3}AC: AC - \dfrac{2}{3}AC = 8 \Rightarrow \dfrac{1}{3}AC = 8 \Rightarrow AC = 24\,\text{m}, luego AN = 16\,\text{m}.
5. MN = \dfrac{2}{3}BC. Con MN = 2\,AM = 2(4) = 8\,\text{m}: BC = \dfrac{3}{2}(8) = 12\,\text{m}.
6. Perímetro de la zona de cebollas rojas: AM + MN + AN = 4 + 8 + 16 = 28\,\text{m}.

Una foto tamaño postal mide 10{,}5\,\text{cm} \times 15\,\text{cm}. ¿Cuáles de las ampliaciones o reducciones no tuvieron distorsión?

1. Una imagen no se distorsiona si conserva la proporción \dfrac{\text{ancho}}{\text{largo}} = \dfrac{10{,}5}{15} = \dfrac{7}{10} = 0{,}7.
2. 21 \times 30: \dfrac{21}{30} = 0{,}7 ✓
3. 5{,}25 \times 7{,}5: \dfrac{5{,}25}{7{,}5} = 0{,}7 ✓
4. 21 \times 7{,}5: \dfrac{21}{7{,}5} = 2{,}8 ✗
5. 4{,}6 \times 6: \dfrac{4{,}6}{6} \approx 0{,}767 ✗
6. 15{,}75 \times 22{,}5: \dfrac{15{,}75}{22{,}5} = 0{,}7 ✓
7. 12 \times 8: \dfrac{12}{8} = 1{,}5 ✗

En el recorrido de motocrós, AB = BC, CD = 100\,\text{m} y DE = 60\,\text{m}. ¿Cuál es la distancia del último tramo si se parte de A?

1. En la figura, \angle BDC = \angle BDE = 90^\circ y \angle BED = \angle BCD = 90^\circ, con \angle DBC común: \triangle BDC \sim \triangle BED (criterio AA).
2. Por semejanza: \dfrac{BD}{BE} = \dfrac{BC}{BD} = \dfrac{CD}{DE}.
3. \dfrac{CD}{DE} = \dfrac{100}{60} = \dfrac{5}{3}, entonces \dfrac{BC}{BD} = \dfrac{5}{3} \Rightarrow BD = \dfrac{3}{5}BC.
4. En \triangle BDC rectángulo en D: BC^{2} = BD^{2} + CD^{2} = \left(\dfrac{3}{5}BC\right)^{2} + 100^{2}.
5. BC^{2} - \dfrac{9}{25}BC^{2} = 10000 \Rightarrow \dfrac{16}{25}BC^{2} = 10000 \Rightarrow BC^{2} = 15625 \Rightarrow BC = 125\,\text{m}.
6. AB = BC = 125\,\text{m}; BD = \dfrac{3}{5}(125) = 75\,\text{m}.
7. En \triangle BED rectángulo en E: BE = \sqrt{BD^{2} - DE^{2}} = \sqrt{75^{2} - 60^{2}} = \sqrt{5625 - 3600} = \sqrt{2025} = 45\,\text{m}.
8. Recorrido total desde A: AB + BC + CD + DE + EB = 125 + 125 + 100 + 60 + 45 = 455\,\text{m}.

Ten en cuenta

Criterios de congruencia en triángulos rectángulos: cateto-cateto, hipotenusa-ángulo e hipotenusa-cateto. En el ejemplo, \triangle ABE y \triangle BCD no son congruentes (solo semejantes), pues m\angle ABE = 30^\circ y m\angle BCD = 60^\circ.