Evaluamos nuestros aprendizajes: relaciones métricas y ángulos entre rectas

El alcalde proyecta un puente sobre un río. Según el gráfico, ¿cuál será la longitud del puente?

Datos del gráfico: el puente es vertical, de altura h. En la base hay un tramo horizontal de 48\,\text{m} hasta el punto donde se levanta una vertical de 5\,\text{m}. La recta que une el extremo superior del puente con el extremo superior de la vertical de 5\,\text{m} corta la horizontal a 12\,\text{m} del pie de esa vertical.

1. Identificamos dos triángulos rectángulos semejantes: el grande (puente h y base 48\,\text{m}) y el pequeño (altura 5\,\text{m} y base 12\,\text{m}), pues comparten el ángulo agudo en el vértice común.
2. Por semejanza, los lados correspondientes son proporcionales: \frac{h}{5} = \frac{48}{12}
3. Simplificamos: \frac{48}{12} = 4, entonces h = 5 \times 4.
4. Calculamos: h = 20\,\text{m}.

En el parque Sinchi Roca, tres áreas de juegos y un puesto de vigilancia. Determina la distancia entre la entrada y el puesto de vigilancia.

Datos del gráfico: la entrada está en un vértice; el puesto de vigilancia se ubica sobre la diagonal que une la entrada con el vértice opuesto. El lado inferior mide 28\,\text{m} y el lado derecho 15\,\text{m}. Los ángulos marcados con \beta en el vértice de la entrada y en el vértice opuesto son congruentes (ángulos opuestos por el vértice), y el segmento desde el puesto de vigilancia al lado derecho es perpendicular a ese lado.

1. Los triángulos formados por la entrada, el puesto de vigilancia y el pie de la perpendicular son semejantes al triángulo grande (comparten el ángulo \beta y tienen un ángulo recto).
2. Por semejanza, la distancia d entre la entrada y el puesto de vigilancia cumple: \frac{d}{15} = \frac{28}{\sqrt{28^{2}+15^{2}}}
3. Calculamos la hipotenusa: \sqrt{784+225} = \sqrt{1009} \approx 31{,}76\,\text{m}.
4. Entonces d = \frac{15 \times 28}{31{,}76} \approx 13{,}2\,\text{m}, que se aproxima a 13\,\text{m}.

Recuerda: ángulos opuestos por el vértice

1. Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes: a = b y c = d.
2. En el ejemplo, 35^\circ + \alpha = 180^\circ (ángulos suplementarios), luego \alpha = 145^\circ.
3. Por ser opuestos por el vértice: \beta = 35^\circ y \phi = \alpha = 145^\circ.

Respuesta: \alpha = 145^\circ, \beta = 35^\circ, \phi = 145^\circ.