Semejanza de triángulos y teorema de la base media: medida de la varilla AC

Ejemplo resuelto: medida de la varilla AC (completar los recuadros)

En la figura, D y E son puntos medios de \overline{MF} y \overline{NF}, y DE = 20 \, \text{cm}. Se pide hallar MN y AC.

1. Semejanza por el criterio LAL: el ángulo \angle MFN es común a los triángulos \triangle MFN y \triangle DFE; además \dfrac{MF}{DF} = \dfrac{NF}{EF}. Por lo tanto, \triangle MFN \sim \triangle DFE.
2. Como D es punto medio de MF, se cumple MF = 2DF.
3. Sustituyendo en la razón de semejanza: \dfrac{MF}{DF} = \dfrac{MN}{DE} \rightarrow \dfrac{2DF}{DF} = \dfrac{MN}{20} \rightarrow 2 = \dfrac{MN}{20} \rightarrow MN = 2 \cdot 20 = 40 \, \text{cm}.
4. Del mismo modo, \triangle ABC \sim \triangle MBN (comparten el ángulo \angle B y MN \parallel AC). Como M es punto medio de AB, se cumple AB = 2MB.
5. Sustituyendo en la razón de semejanza: \dfrac{AB}{MB} = \dfrac{AC}{MN} \rightarrow \dfrac{2MB}{MB} = \dfrac{AC}{40} \rightarrow 2 = \dfrac{AC}{40} \rightarrow AC = 2 \cdot 40 = 80 \, \text{cm}.

Método alternativo (Ten en cuenta): como DE es base media de \triangle MFN, DE = \dfrac{MN}{2} \rightarrow MN = 2(20) = 40 \, \text{cm}; y como MN es base media de \triangle ABC, MN = \dfrac{AC}{2} \rightarrow AC = 2(40) = 80 \, \text{cm}.

¿Qué estrategia se utilizó en la resolución de la situación?

1. Se descompuso la figura en triángulos que comparten ángulos y lados paralelos (MN \parallel AC).
2. Se identificaron pares de triángulos semejantes: \triangle MFN \sim \triangle DFE y \triangle ABC \sim \triangle MBN.
3. Se usó la condición de puntos medios (MF = 2DF, AB = 2MB) y la proporcionalidad de lados homólogos para hallar longitudes no medibles directamente.

Respuesta orientativa: Se empleó la estrategia de semejanza de triángulos: reconocer triángulos semejantes dentro de la figura y plantear proporciones entre lados homólogos, apoyándose en los puntos medios, para calcular de forma indirecta la longitud de la varilla AC.

¿Qué criterio se empleó para establecer la semejanza de triángulos?

1. Se compararon dos lados proporcionales: \dfrac{MF}{DF} = \dfrac{NF}{EF}.
2. Se verificó que el ángulo comprendido entre esos lados es el mismo: m\angle MFN = m\angle DFE.
3. Dos lados proporcionales y el ángulo comprendido congruente corresponden al criterio LAL.

Respuesta orientativa: El criterio LAL (lado–ángulo–lado): dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos congruente. Gracias a él se concluye que \triangle MFN \sim \triangle DFE.