Dimensiones del río: semejanza de triángulos rectángulos y detección del error

Situación C: Dimensiones del río

Hallar el ancho del río en el punto A, es decir AC = x, sabiendo que AC \perp AD, BD \perp DE y que AB = 10\,\text{m}, BD = 4\,\text{m}, DE = 3\,\text{m}.

1. Reconocer los ángulos rectos: m\angle CAB = 90^\circ porque AC \perp AD; m\angle EDB = 90^\circ porque BD \perp DE.
2. En el punto B los ángulos \angle ABC y \angle EBD son opuestos por el vértice, por lo que son congruentes.
3. Por el criterio AA se concluye \triangle CAB \sim \triangle EDB.
4. Correspondencia de vértices y lados homólogos: A \leftrightarrow D, B \leftrightarrow B, C \leftrightarrow E; entonces CA \leftrightarrow DE, AB \leftrightarrow DB, CB \leftrightarrow EB.
5. Proporción con lados homólogos: \dfrac{CA}{DE} = \dfrac{AB}{DB} \Rightarrow \dfrac{x}{3} = \dfrac{10}{4}.
6. Despejar: x = \dfrac{10 \cdot 3}{4} = \dfrac{30}{4} = 7{,}5\,\text{m}.

Detección del error

El libro plantea \dfrac{x}{10} = \dfrac{4}{3}, invirtiendo la razón de semejanza y emparejando mal los lados (CA con AB). Eso da x = 13{,}333\ldots m, valor incorrecto.

¿Cómo se lee "\triangle CAB \sim \triangle EDB"?

Los triángulos CAB y EDB son semejantes porque tienen igual forma pero diferente tamaño; se observa que \triangle CAB es más grande. ¿Qué opinas de la respuesta que afirma que AC > DE?

1. La afirmación cualitativa AC > DE es correcta: al ser \triangle CAB el mayor, sus lados homólogos miden más que los de \triangle EDB.
2. Pero el razonamiento cuantitativo falla: la razón de semejanza es k = \dfrac{AB}{DB} = \dfrac{10}{4} = 2{,}5, luego AC = 2{,}5 \cdot DE = 2{,}5 \cdot 3 = 7{,}5\,\text{m}, no 13{,}33\,\text{m}.

¿Qué cambiarías en la resolución?

1. Cambiar la proporción \dfrac{x}{10} = \dfrac{4}{3} por la correcta \dfrac{x}{3} = \dfrac{10}{4}.
2. Verificar la correspondencia: CA (lado opuesto a B, junto al ángulo recto en A) con DE (lado opuesto a B, junto al ángulo recto en D).
3. Recalcular: x = \dfrac{3 \cdot 10}{4} = 7{,}5\,\text{m}.