Conociendo algunas estrategias: lista sistemática, generaliza y particulariza

Escribe las tres filas siguientes del arreglo del triángulo de Pascal.

1. La regla del triángulo de Pascal es que cada número interior es la suma de los dos números que tiene arriba.
2. Partiendo de la última fila mostrada 1\ 5\ 10\ 10\ 5\ 1, sumamos pares consecutivos:
   • 1+5=6
   • 5+10=15
   • 10+10=20
   • 10+5=15
   • 5+1=6
   • Los extremos son 1.
3. Las tres filas siguientes son: 1\ 6\ 15\ 20\ 15\ 6\ 1 1\ 7\ 21\ 35\ 35\ 21\ 7\ 1 1\ 8\ 28\ 56\ 70\ 56\ 28\ 8\ 1

¿Qué número sigue al 1 en la fila 75?

1. En el triángulo de Pascal, si la fila se numera desde n=0, el segundo número de la fila n es \binom{n}{1}=n.
2. Para la fila 75: \binom{75}{1}=75.

¿Cuál es la suma de los números que ocupan la fila número 20?

1. La suma de los números de la fila n del triángulo de Pascal, contada desde n=0, es 2^n.
2. Para la fila 20: 2^{20}=1\,048\,576.

¿Puedes encontrar un patrón en las diagonales del triángulo de Pascal?

1. Primera diagonal: todos los números son 1.
2. Segunda diagonal: números naturales 1,2,3,4,\dots
3. Tercera diagonal: números triangulares 1,3,6,10,\dots
4. Cuarta diagonal: números tetraédricos 1,4,10,20,\dots

Ejemplo: conteo de triángulos

¿Cuántos triángulos hay en la figura dividida en cuatro triángulos etiquetados a, b, c, d?

1. Triángulos con una letra: a, b, c, d: 4.
2. Con dos letras: ab, bc, cd: 3.
3. Con tres letras: abc, bcd: 2.
4. Con cuatro letras: abcd: 1.
5. Total: 4+3+2+1=10.

Respuesta: 10 triángulos.

Ejemplo: diferencia de cuadrados

Halla (234\,756\,474)^2-(234\,756\,473)^2.

1. Generalizamos: (n+1)^2-n^2 con n=234\,756\,473.
2. Factorizamos: (n+1+n)(n+1-n)=2n+1.
3. Sustituimos: 2(234\,756\,473)+1=469\,512\,947.

Respuesta: 469\,512\,947.

Ejemplo: descuento e impuesto

En una tienda ofrecen 12% de descuento y se debe pagar 18% de IGV. ¿Qué conviene calcular primero?

1. Si el artículo vale S/100 y se aplica primero el descuento: 100-12=88; luego el impuesto del 18% sobre el precio original: 88+18=106.
2. Si se aplica primero el impuesto: 100+18=118; luego el descuento del 12% sobre el original: 118-12=106.
3. El resultado es el mismo: S/106.

Respuesta: Es indiferente el orden; se paga lo mismo.