Estrategias para resolver problemas: diagramas y patrones

Ejemplo 1: Diagramas conjuntistas

De los 35 estudiantes de un aula, 23 usan lentes y 20 reloj. ¿Cuántos usan ambas cosas?

1. Identificamos los conjuntos: A = estudiantes que usan lentes, B = estudiantes que usan reloj.
2. El total de estudiantes es |A \cup B| = 35.
3. Datos: |A| = 23, |B| = 20.
4. Usamos la fórmula de inclusión-exclusión: |A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B|.
5. Sustituimos: |A \cap B| = 23 + 20 - 35 = 8.
6. Verificamos: solo lentes = 23 - 8 = 15; solo reloj = 20 - 8 = 12; ambos = 8; total = 15 + 8 + 12 = 35.

Respuesta: 8 estudiantes usan ambas cosas.

Ejemplo 2: Diagramas cartesianos

El crecimiento de un grupo de bacterias se da con el paso de los días de manera constante. Al inicio, había 3 bacterias, y después de 8 días llegan a 20. ¿Cuántos días transcurrirán desde el inicio para que la colonia tenga 400 bacterias?

1. Sea t el tiempo en días y N la cantidad de bacterias.
2. Datos: (0, 3) y (8, 20).
3. Por crecimiento constante, la relación es lineal: N = mt + b.
4. La ordenada al origen es b = 3.
5. La pendiente es m = \frac{20 - 3}{8 - 0} = \frac{17}{8}.
6. Ecuación: N = \frac{17}{8}t + 3.
7. Para N = 400: 400 = \frac{17}{8}t + 3.
8. Restamos 3: 397 = \frac{17}{8}t.
9. Multiplicamos por \frac{8}{17}: t = \frac{397 \times 8}{17} = \frac{3176}{17} \approx 186.82 días.
10. Verificamos: \frac{17}{8}(186.82) + 3 \approx 397 + 3 = 400.

Respuesta: \frac{3176}{17} días \approx 186.82 días (aproximadamente 186 días y 20 horas).

Ejemplo 3: Diagramas lineales

Si tanto Roberto como Alfredo están más alegres que Tomás, mientras que Alberto se encuentra menos alegre que Roberto, pero más alegre que Alfredo, ¿quién está menos alegre?

1. Traducimos las relaciones:
   • Roberto > Tomás y Alfredo > Tomás.
   • Alberto < Roberto y Alberto > Alfredo.
2. Ordenamos de mayor a menor alegría: Roberto > Alberto > Alfredo > Tomás.
3. El extremo izquierdo del diagrama lineal es el menos alegre.

Respuesta: Tomás está menos alegre.

Ejemplo 4: Diagrama de árbol

Un productor de cumbia quiere armar un dúo mixto (varón y mujer). Puede elegir entre 3 cantantes mujeres y 2 cantantes varones. ¿Cuántos dúos mixtos diferentes puede formar?

1. Mujeres: Rosa, Ana, Nancy (3 opciones).
2. Varones: José, Raúl (2 opciones).
3. Por el principio de multiplicación: 3 \times 2 = 6.
4. Listado: (Rosa, José), (Rosa, Raúl), (Ana, José), (Ana, Raúl), (Nancy, José), (Nancy, Raúl).

Respuesta: 6 dúos mixtos diferentes.

Ejemplo 5: Busca patrones

El arreglo mostrado se conoce como el triángulo de Pascal.

El triángulo de Pascal es una disposición triangular de números en la que cada número es la suma de los dos que tiene encima. Sus filas se relacionan con los coeficientes binomiales. Por ejemplo, la primera fila es 1; la segunda, 1 1; la tercera, 1 2 1; la cuarta, 1 3 3 1; y así sucesivamente. Esta regularidad permite obtener combinaciones y patrones numéricos.

Respuesta: El triángulo de Pascal muestra una regularidad numérica que sirve para identificar patrones.