Ejercicio a
** ¿De cuántas formas diferentes José puede dar el vuelto a Laura?
- Vuelto: 100 - 19 = \text{S/}\,81.
- Sean x = número de monedas de \text{S/}2 e y = número de monedas de \text{S/}5: 2x + 5y = 81.
- 2x es par, entonces 5y = 81 - 2x es impar; por lo tanto y es impar.
- Además 5y \le 81 \Rightarrow y \le 16{,}2, así que y \in \{1,3,5,7,9,11,13,15\}.
- Calculamos x = \frac{81 - 5y}{2}:
| y (S/5) | x (S/2) | Verificación 2x+5y |
|---|---|---|
| 1 | 38 | 2(38)+5(1)=81 |
| 3 | 33 | 2(33)+5(3)=81 |
| 5 | 28 | 2(28)+5(5)=81 |
| 7 | 23 | 2(23)+5(7)=81 |
| 9 | 18 | 2(18)+5(9)=81 |
| 11 | 13 | 2(13)+5(11)=81 |
| 13 | 8 | 2(8)+5(13)=81 |
| 15 | 3 | 2(3)+5(15)=81 |
- Todas las parejas son válidas (monedas enteras y no negativas).
Respuesta: José puede dar el vuelto de 8 formas diferentes.
Parte a.b
¿Cuál es la expresión algebraica que modela el vuelto?
- El vuelto debe sumar \text{S/}\,81 con monedas de \text{S/}2 y \text{S/}5.
- Si x es la cantidad de monedas de \text{S/}2 e y la de monedas de \text{S/}5: 2x + 5y = 81.
Respuesta
2x + 5y = 81, con x, y \in \mathbb{Z}_{0}^{+} (ecuación diofántica).
Parte a.c
¿Qué dato agregarías para que haya una sola forma posible?
- Basta una condición extra sobre x e y (una ecuación más) para que el sistema tenga solución única.
- Dato propuesto: «José cuenta con 21 monedas en total», es decir x + y = 21.
- Resolviendo: y = 21 - x; 2x + 5(21 - x) = 81 \Rightarrow 105 - 3x = 81 \Rightarrow x = 8, luego y = 13.
Respuesta
Agregar que José dispone de 21 monedas en total (x + y = 21); la solución es única.
Parte a.d
¿Cuál sería la representación algebraica del nuevo dato y cómo daría José el vuelto?
- Sistema: \begin{cases} 2x + 5y = 81 \\ x + y = 21 \end{cases}
- Despejamos x = 21 - y y sustituimos: 2(21 - y) + 5y = 81.
- 42 - 2y + 5y = 81 \Rightarrow 3y = 39 \Rightarrow y = 13.
- x = 21 - 13 = 8.
- Verificación: 2(8) + 5(13) = 16 + 65 = 81 ✔ y 8 + 13 = 21 ✔.
Respuesta
Sistema \begin{cases} 2x+5y=81 \\ x+y=21\end{cases}; José entrega 8 monedas de \text{S/}2 y 13 monedas de \text{S/}5.
