Método de reducción: sistemas de ecuaciones lineales y su verificación

Referencia inicial: ejemplo del recuadro «Ten en cuenta»

Sistema dado:

2x+3y=19 \quad (I) x+2y=11 \quad (II)

1. Se multiplica (II) por -2 para obtener una ecuación equivalente: -2x-4y=-22.
2. Se suman (I) y la nueva ecuación: (2x-2x)+(3y-4y)=19-22.
3. Queda -y=-3, de donde y=3.
4. Se sustituye en (II): x+2(3)=11 \Rightarrow x=5.

Escribe la representación algebraica del nuevo dato, úsala con la expresión de la pregunta 10 y describe las características del sistema.

1. La pregunta 10 (situación inicial, pág. 25) planteó la primera condición sobre las dos incógnitas, por ejemplo 2x+3y=19.
2. El nuevo dato del problema aporta una segunda condición que relaciona las mismas incógnitas, por ejemplo x+2y=11.
3. Con ambas expresiones se forma el sistema:

\begin{cases} 2x+3y=19 \\ x+2y=11 \end{cases}

4. Características: tiene dos ecuaciones de primer grado (lineales), con dos incógnitas x e y y coeficientes constantes; como \frac{2}{1} \ne \frac{3}{2}, las rectas se cortan en un solo punto, por lo que es compatible determinado (solución única).

Resuelve el sistema planteado y responde la pregunta d) de la situación inicial.

1. Multiplico la ecuación (II) por -2: -2x-4y=-22.
2. Sumo con (I):

2x+3y=19-2x-4y=-22\overline{\quad -y=-3 \quad}

3. De -y=-3 se obtiene y=3.
4. Sustituyo en (II): x+2(3)=11 \Rightarrow x+6=11 \Rightarrow x=5.

¿Cómo generalizarías la solución de la pregunta a) de la situación inicial? Escribe la representación algebraica.

1. Un sistema lineal 2x2 general se escribe:

\begin{cases} ax+by=c \\ dx+ey=f \end{cases}

2. El mismo método de reducción (multiplicar por factores convenientes y sumar) conduce a:

x=\frac{ce-bf}{ae-bd}, \qquad y=\frac{af-cd}{ae-bd}, \quad \text{si } ae-bd \ne 0.

3. El conjunto solución general es \left\{\left(\dfrac{ce-bf}{ae-bd};\ \dfrac{af-cd}{ae-bd}\right)\right\}.

Describe el procedimiento empleado para resolver el sistema de la pregunta 12.

1. Se igualan en valor absoluto los coeficientes de una incógnita multiplicando una o ambas ecuaciones por números convenientes.
2. Se suman miembro a miembro las ecuaciones para eliminar esa incógnita (método de reducción).
3. Se resuelve la ecuación de una sola variable.
4. Se sustituye ese valor en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar la otra variable.
5. Se escribe el conjunto solución y se verifica.

Respuesta orientativa: se buscó que los coeficientes de x fueran opuestos, se sumó, se halló y=3 y luego x=5.

Verifica la solución hallada en las ecuaciones del sistema.

1. En (I): 2(5)+3(3)=10+9=19, y 19=19 ✓.
2. En (II): 5+2(3)=5+6=11, y 11=11 ✓.
3. Como se cumplen ambas igualdades, el par (5;3) es solución del sistema.