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Ecuaciones lineales con dos incógnitas: el vuelto de José (Ficha 2)

📄 ejercicios matematica 🎓 bachillerato · 5° Secundaria Perú 🇵🇪 PE 🗣 Español

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Respuesta rápida

Vuelto S/71 y monedas de S/5 y S/2. 2) Si el vuelto exacto es posible. 3) Sí. 4) No con solo S/2 (par vs. impar); no con solo S/5 (71 no es múltiplo de 5). 5) 1 de S/5 y 33 de S/2 = 71. 6) (b) Plantear una ecuación.

📚 exercise matematica ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 8 min lectura

Solución — Página 24

Fichas de Matemática 5 · 2024

Ejercicio 1

¿Qué datos se presentan en la situación inicial?

Se identifican las denominaciones de las monedas que tiene José: S/5 y S/2.
Se identifica el monto que debe devolver (el vuelto a Laura): S/71.
Se identifican las cantidades de monedas disponibles de cada tipo al momento de pagar.

Respuesta

Los datos son el monto del vuelto que José debe entregar (S/71), las denominaciones de las monedas disponibles (S/5 y S/2) y la cantidad de monedas de cada valor con que cuenta.

Ejercicio 2

¿Qué te piden hallar las preguntas de la situación inicial?

Se reconoce la incógnita: cuántas monedas de S/5 ( $x$ ) y cuántas de S/2 ( $y$ ) se necesitan.
La condición es que la suma forme exactamente el vuelto: $5x+2y=71$ .

Respuesta

Determinar si José puede dar el vuelto exacto de S/71 con monedas de S/5 y S/2, y qué combinaciones de monedas lo permiten.

Ejercicio 3

¿Tienes información suficiente para responder la pregunta a de la situación inicial? Explica.

Se conocen las dos denominaciones: S/5 y S/2.
Se conoce el monto exacto a devolver, el vuelto: S/71.
Con esos datos basta plantear $5x+2y=71$ y buscar valores enteros no negativos de $x$ e $y$ .

Respuesta

Sí, la información es suficiente, porque conociendo el monto del vuelto (71) y los valores de las monedas (5 y 2) se plantea la ecuación $5x+2y=71$ y se hallan sus soluciones enteras.

Ejercicio 4

Si José solo tuviera monedas de S/2, ¿podrá dar el vuelto a Laura? Y, si tuviera solo monedas de S/5, ¿lo podrá hacer? Justifica.

Parte 4.a

Solo monedas de S/2

Con solo monedas de S/2, el dinero disponible siempre es $2y$ , es decir, un número par.
El vuelto pedido es $71$ , que es impar.
Un número par nunca puede ser igual a uno impar.

Respuesta

No podrá, porque cualquier cantidad formada solo con monedas de S/2 es par y $71$ es impar.

Parte 4.b

Solo monedas de S/5

Con solo monedas de S/5, el dinero disponible es $5x$ , un múltiplo de 5: $\dots, 65, 70, 75, \dots$
El vuelto pedido es $71$ , que no es múltiplo de 5.
No existe entero $x$ tal que $5x=71$ .

Respuesta

No podrá, porque $71$ no es múltiplo de $5$ ( $70$ y $75$ sí lo son) y no hay forma de reunir exactamente esa cantidad.

Ejercicio 5

Si José tiene una moneda de S/5 y las demás monedas de S/2, ¿podrá dar el vuelto? Completa la tabla y justifica.

Se aplica el modelo $5x+2y$ con $x=1$ (una moneda de S/5): $5(1)+2y=5+2y$ .
Se iguala al vuelto: $5+2y=71 \Rightarrow 2y=66 \Rightarrow y=33$ .
Verificación: $1(5)+33(2)=5+66=71$ .
Se completan las demás filas con el mismo modelo.

N.° de monedas de S/5	N.° de monedas de S/2	Vuelto (S/)	¿Podrá dar vuelto?
$1$	$1$	$1(5)+1(2)=7$	No
$1$	$5$	$1(5)+5(2)=15$	No
$1$	$30$	$1(5)+30(2)=65$	No
$1$	$33$	$1(5)+33(2)=71$	Sí
$3$	$28$	$3(5)+28(2)=71$	Sí
$0$	$40$	$40(2)=80$	No

Respuesta

Sí podrá, pero necesita $33$ monedas de S/2 y $1$ de S/5 ( $5+66=71$ ). También sirve, por ejemplo, $3$ monedas de S/5 y $28$ de S/2.

Ejercicio 6

¿Cuál de las siguientes estrategias te ayudará a resolver la situación inicial? Argumenta.

Se descarta (a) y (d): un diagrama de flujo o un esquema no dan el número exacto de monedas.
El ensayo y error (c) funciona, pero exige muchos intentos.
La ecuación $5x+2y=71$ organiza los datos y permite hallar todas las soluciones enteras de una sola vez.

Respuesta

La opción (b) Plantear una ecuación, porque la situación se modela con la ecuación lineal $5x+2y=71$ ; el ensayo y error (c) puede usarse como apoyo, pero la ecuación es más rápida y segura.

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