Ejecutamos la estrategia: ecuaciones diofánticas y sistemas lineales 2x2

Nota: el contexto completo (la situación inicial con José y Laura) aparece en la página anterior. A partir de los datos visibles (tabla de monedas de S/5 y S/2, columnas «N.° de monedas» y «Vuelto (S/)», gráfico de 0 a 25 en X y 0 a 40 en Y) se reconstruye la situación como: José debe darle a Laura un vuelto de S/23 y solo dispone de monedas de S/5 y de S/2. Se resuelve con esa premisa.

Describe la estrategia que emplearías para resolver la situación inicial.

1. Identifico las variables: x = N.° de monedas de S/5, y = N.° de monedas de S/2.
2. Planteo la ecuación diofántica: 5x + 2y = 23, con x, y \in \mathbb{Z}_{\ge 0}.
3. Pruebo valores enteros de x en la tabla y despejo y = \dfrac{23 - 5x}{2}, aceptando solo los y enteros.
4. Verifico los pares válidos y los represento como puntos del plano cartesiano.

Respuesta orientativa: Traducir la situación a una ecuación con coeficientes enteros y buscar sus soluciones enteras no negativas, apoyándome en una tabla de valores y en el gráfico para comprobar que los puntos son colineales.

Desarrolla la estrategia y responde la pregunta a de la situación inicial (¿de cuántas formas puede José dar el vuelto?).

1. Despejo la incógnita dependiente: 5x + 2y = 23 \Rightarrow y = \dfrac{23 - 5x}{2}.
2. Como y debe ser entero, 23 - 5x debe ser par. Si x es impar, 5x es impar y 23 - 5x es par. Pruebo x = 1, 3.
3. x = 0 \Rightarrow y = 11{,}5 (no entero). x = 1 \Rightarrow y = 9 ✔. x = 2 \Rightarrow y = 6{,}5 (no entero). x = 3 \Rightarrow y = 4 ✔. x = 4 \Rightarrow y = 1{,}5 (no entero). x = 5 \Rightarrow 5x = 25 > 23 ✘.
4. Compruebo: 5(1) + 2(9) = 23 ✔ y 5(3) + 2(4) = 23 ✔.

Tabla completada:

Define tus variables y responde la pregunta b: representa en el plano cartesiano.

1. Variables: x = N.° de monedas de S/5 (eje X), y = N.° de monedas de S/2 (eje Y).
2. La relación es lineal: y = \dfrac{23 - 5x}{2} = \dfrac{23}{2} - \dfrac{5}{2}x (pendiente -\tfrac{5}{2}).
3. Puntos solución: A(1;\,9) y B(3;\,4); ambos están sobre la misma recta.
4. Los trazo en el plano (la recta corta al eje X en x = 4{,}6 y al eje Y en y = 11{,}5, pero solo los puntos de coordenadas enteras tienen sentido físico).

¿Qué dato agregarías a la situación inicial para que José tenga solo una forma posible de dar el vuelto a Laura? ¿Para qué te servirá?

1. La ecuación 5x + 2y = 23 tiene infinitas soluciones reales y dos soluciones enteras. Para forzar solución única debo añadir una condición extra.
2. Opción 1: «Usar la menor cantidad total de monedas». Comparo: 1 + 9 = 10 monedas vs. 3 + 4 = 7 monedas → gana (3,\,4).
3. Opción 2: agregar «el número total de monedas es 10». Resuelvo el sistema: \begin{cases}5x + 2y = 23\\ x + y = 10\end{cases}. De la segunda, y = 10 - x; sustituyo: 5x + 2(10-x) = 23 \Rightarrow 3x = 3 \Rightarrow x = 1,\; y = 9. Única solución (1;\,9).