Situación B: Mezcla de soluciones con sistema de ecuaciones lineales

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Respuesta rápida

$x = 40\,\text{mL}$ al $35\%$ y $y = 60\,\text{mL}$ al $60\%$ .

matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 28

Fichas de Matemática 5 · 2024

Ejercicio 1

Planteamos el sistema de ecuaciones del problema de mezcla (100 mL al 50 % a partir de soluciones al 35 % y 60 %).

Definimos las incógnitas: $x$ = volumen (mL) de solución al $35\%$ , $y$ = volumen (mL) de solución al $60\%$ .
Ecuación de volumen total: $x + y = 100$ ... (I)
Ecuación de concentración (azúcar): $0{,}35x + 0{,}60y = 0{,}50 \times 100$
El segundo miembro es $0{,}50 \times 100 = 50$ , por lo que la tabla y la ecuación quedan: $0{,}35x + 0{,}60y = 50$ ... (II)
Multiplicamos (I) por $-0{,}35$ : $-0{,}35x - 0{,}35y = -35$
Sumamos con (II): $(-0{,}35x - 0{,}35y) + (0{,}35x + 0{,}60y) = -35 + 50$
Reducimos: $0{,}25y = 15 \rightarrow y = \dfrac{15}{0{,}25} = 60$
Reemplazamos $y = 60$ en (I): $x + 60 = 100 \rightarrow x = 40$

Verificación: $40 + 60 = 100$ (V) y $0{,}35(40) + 0{,}60(60) = 14 + 36 = 50$ (V), que corresponde al $50\%$ de $100\,\text{mL}$ .

Respuesta

se necesitan $40\,\text{mL}$ de la solución al $35\%$ y $60\,\text{mL}$ de la solución al $60\%$ .

Ejercicio 2

Preguntas de reflexión sobre el procedimiento.

Parte 2.a

¿Qué estrategia te ayudó a plantear el sistema de ecuaciones?

Identificar las incógnitas ( $x$ e $y$ = volúmenes de cada solución).
Ordenar los datos en una tabla de doble entrada (volumen y concentración).
Traducir cada fila a una ecuación: una de volumen total y otra de cantidad de soluto.

Respuesta orientativa: ayudó organizar los datos en la tabla, pues separa el volumen de la concentración y permite escribir una ecuación de volumen y otra de soluto.

Parte 2.b

Expresa de manera sencilla la ecuación $0{,}35x + 0{,}60y = 0{,}50$.

Multiplicamos ambos miembros por $100$ (equivalente al $100\,\text{mL}$ de la mezcla).
$100(0{,}35x + 0{,}60y) = 100(0{,}50)$
Resultado: $35x + 60y = 50$

Respuesta

$35x + 60y = 50$ .

Parte 2.c

¿Por qué se multiplicó la ecuación (I) por $-0{,}35$?

Método de reducción: se busca eliminar una variable al sumar las ecuaciones.
Al multiplicar (I) por $-0{,}35$ el coeficiente de $x$ queda $-0{,}35$ , opuesto al $+0{,}35$ de (II).
Al sumar, $x$ se cancela y queda una ecuación solo en $y$ .