Ejercicio 1
Juan fabrica conos de seguridad (troncos de cono) de 48 cm de altura, con diámetros de base mayor y menor de 36 cm y 8 cm, y una banda reflectante de 10 cm de ancho ubicada a 12 cm de la base menor.
Datos en radios: R = \frac{36}{2} = 18 cm (base mayor), r = \frac{8}{2} = 4 cm (base menor), h = 48 cm.
- Calculo la generatriz g del tronco de cono con el teorema de Pitágoras, usando h y R-r = 14 cm: g = \sqrt{h^{2}+(R-r)^{2}} = \sqrt{48^{2}+14^{2}} = \sqrt{2304+196} = \sqrt{2500} = 50 \text{ cm}
- Por semejanza, el radio crece proporcionalmente a la generatriz: \frac{R-r}{g}=\frac{14}{50}=0.28 cm de radio por cada centímetro de generatriz.
Parte 1.a
Área de la banda reflectante
- La banda tiene 10 cm de ancho y su borde superior está a 12 cm de la base menor, así que cubre desde 12 cm hasta 12+10=22 cm medidos sobre la generatriz.
- Calculo los radios en los dos bordes de la banda: r_{1} = 4 + 0.28(12) = 7.36 \text{ cm} r_{2} = 4 + 0.28(22) = 10.16 \text{ cm}
- El área que cubre la banda es el área lateral del trozo de tronco de cono de generatriz 10 cm: A = \pi (r_{1}+r_{2})\,g_{\text{banda}} = \pi (7.36+10.16)(10) = \pi(17.52)(10) = 175.2\pi A \approx 550.4 \text{ cm}^{2}
Respuesta
la banda cubre aproximadamente 550.4 \text{ cm}^{2} en cada cono.
Parte 1.b
Volumen de cada cono
- Fórmula del volumen del tronco de cono: V = \frac{\pi h}{3}\left(R^{2}+Rr+r^{2}\right)
- Sustituyo los datos: V = \frac{\pi (48)}{3}\left(18^{2}+18\cdot 4+4^{2}\right) = 16\pi (324+72+16)
- Opero: V = 16\pi (412) = 6592\pi \approx 20\,709.4 \text{ cm}^{3} \approx 20.7 \text{ L}
Para todo el pedido de 20 conos: volumen total \approx 20 \times 20\,709.4 = 414\,187 \text{ cm}^{3} y banda total \approx 20 \times 550.4 = 11\,008 \text{ cm}^{2}.
Paso de verificación
- Volumen por diferencia de conos: el cono completo tiene \frac{H}{18}=\frac{48}{14}\Rightarrow H = 61.714 cm y el cono pequeño h' = 13.714 cm. V = \frac{\pi}{3}(18^{2})(61.714)-\frac{\pi}{3}(4^{2})(13.714) \approx 6665.14\pi - 73.14\pi = 6592\pi
- Área con el radio medio \bar{r} = \frac{7.36+10.16}{2} = 8.76 cm: A = 2\pi \bar{r} g = 2\pi(8.76)(10) = 175.2\pi \approx 550.4 \text{ cm}^{2}
Respuesta orientativa: ambos resultados quedan confirmados.
Respuesta
cada cono tiene un volumen de aproximadamente 20\,709.4 \text{ cm}^{3} (20.7 litros).
