Tronco de cono: área lateral, volumen y semejanza

Obtén la medida de la generatriz del tronco de cono usando el teorema de Pitágoras.

1. En un tronco de cono, la generatriz g, la altura h y la diferencia de radios R-r forman un triángulo rectángulo.
2. Aplicamos el teorema de Pitágoras: g^{2} = h^{2} + (R-r)^{2}.
3. Despejamos la generatriz: g = \sqrt{h^{2} + (R-r)^{2}}.

Halla la medida de los radios menor y mayor del tronco de cono pequeño (de la pregunta 12) aplicando la semejanza de triángulos.

1. En el cono completo, los triángulos formados por la altura, el radio y la generatriz son semejantes.
2. Planteamos la proporción: \frac{r}{R} = \frac{h}{H} = \frac{g'}{g}, donde r y R son los radios menor y mayor, h y H las alturas correspondientes.
3. Despejamos los radios: r = R \cdot \frac{h}{H} y R = r \cdot \frac{H}{h}.

Calcula el área de la superficie cubierta por la banda reflectante y responde la pregunta a.

1. La banda reflectante es la superficie lateral de un tronco de cono.
2. Usamos la fórmula del área lateral: A_L = \pi g (R+r).
3. Sustituimos g (del ejercicio 15) y R, r (del ejercicio 16).

Determina el volumen del cono de seguridad y responde la pregunta b.

1. El cono de seguridad es un tronco de cono recto.
2. Usamos la fórmula del volumen: V = \frac{1}{3} \pi h (R^{2} + r^{2} + Rr).
3. Sustituimos h, R y r.

Si la banda reflectante la ubicáramos a 15 cm de la base menor del cono de seguridad, ¿el área lateral de la banda aumenta o disminuye?, ¿por qué?

1. Al ubicar la banda a 15 cm de la base menor, la banda se desplaza hacia la base mayor del cono.
2. En esa zona, los radios R y r y la generatriz g son mayores que en la posición original.
3. Como A_L = \pi g (R+r), al aumentar g, R y r, el área lateral aumenta.

¿La estrategia empleada facilitó resolver la situación inicial? Justifica tu respuesta.

1. La estrategia utilizó semejanza de triángulos y el teorema de Pitágoras.
2. Permitió relacionar radios, alturas y generatrices del tronco de cono.
3. Con esas relaciones se calcularon área lateral y volumen.