Volumen de un volcán: tronco de cono y cilindro a escala 1:2000

Situación A: El volumen de un volcán

Los estudiantes de quinto grado midieron un volcán: cráter de 840 m de diámetro, base de 1800 m de diámetro y ladera con 37° de inclinación. Con arcilla marrón modelaron el tronco de cono y con arcilla anaranjada la chimenea cilíndrica. Piden cuánto excede el volumen marrón al anaranjado.

Medidas de la maqueta (escala 1:2000)

1. Recordamos que 1\ \text{m} = 100\ \text{cm} y que a escala 1:2000 se divide la medida real entre 2000.
2. Diámetro del cráter: 840\ \text{m} = 840\times100\ \text{cm} = 84000\ \text{cm}, luego \frac{84000}{2000} = 42\ \text{cm}.
3. Diámetro de la base: 1800\ \text{m} = 180000\ \text{cm}, luego \frac{180000}{2000} = 90\ \text{cm}.

Respuesta: cráter 42\ \text{cm} y base 90\ \text{cm} en la maqueta.

Radios y altura h

1. Radios: r = \frac{42}{2} = 21\ \text{cm} y R = \frac{90}{2} = 45\ \text{cm}.
2. El triángulo rectángulo ABC es notable de 37^\circ-53^\circ, por lo que sus catetos están en relación 3:4: AB = 4k y BC = 3k.
3. La base horizontal AB es la diferencia de radios: AB = R - r = 45 - 21 = 24\ \text{cm}.
4. 4k = 24 \Rightarrow k = 6.
5. Altura: BC = 3k = 3(6) = 18\ \text{cm} = h.

Respuesta: r = 21\ \text{cm}, R = 45\ \text{cm} y h = 18\ \text{cm}.

Volumen de arcilla anaranjada (cilindro)

1. Fórmula del cilindro: V = \pi r^{2}h.
2. Sustituimos: V = \pi(21)^{2}(18).
3. Potencia: (21)^{2} = 441.
4. Multiplicamos: 441\times18 = 7938.

Respuesta: V_{\text{naranja}} = 7938\pi\ \text{cm}^{3} \approx 24\,938\ \text{cm}^{3}.

Volumen de arcilla marrón (tronco de cono menos cilindro)

1. Volumen del cono truncado: V = \frac{1}{3}\pi h\left(R^{2}+r^{2}+Rr\right).
2. Sustituimos: V = \frac{1}{3}\pi(18)\left(45^{2}+21^{2}+45\times21\right).
3. Cuadrados y producto: 45^{2} = 2025, 21^{2} = 441, 45\times21 = 945.
4. Suma: 2025 + 441 + 945 = 3411.
5. \frac{18}{3} = 6, entonces V = 6\pi(3411) = 20466\pi\ \text{cm}^{3}.
6. Restamos el cilindro: V = 20466\pi - 7938\pi = 12528\pi\ \text{cm}^{3}.

Respuesta: V_{\text{marrón}} = 12528\pi\ \text{cm}^{3} \approx 39\,350\ \text{cm}^{3}.

Exceso del volumen marrón sobre el anaranjado

1. Planteamos la diferencia: 12528\pi - 7938\pi.
2. Restamos los coeficientes: 12528 - 7938 = 4590.
3. Con \pi \approx 3{,}1416: 4590\times3{,}1416 \approx 14420.

Respuesta: el volumen marrón excede al anaranjado en 4590\pi\ \text{cm}^{3} \approx 14\,420\ \text{cm}^{3}.