Evaluamos nuestros aprendizajes: sólidos de revolución (área y volumen)

📄 ejercicios matematica 🎓 bachillerato · 5° Secundaria Perú 🇵🇪 PE 🗣 Español

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Respuesta rápida

A–3, B–1, C–2, D–4. 2) a) 50π cm². 3) c) 63π cm³. 4) Cilindro + cono (eje M); tronco de cono con cavidad cilíndrica (eje N). 5) 72 bolsas de gel.

📚 exercise matematica ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 14 min lectura

Solución — Página 41

Fichas de Matemática 5 · 2024

Ejercicio 1

Relaciona cada sólido con su respectivo desarrollo plano.

Identifico el tipo de sólido: A y C son troncos de cono (tienen dos bases circulares de distinto radio); B y D son conos (una sola base circular y un vértice).
Criterio de desarrollo: un cono desarrolla un sector circular más un círculo; un tronco de cono desarrolla un sector de corona circular (anillo) más dos círculos.
Comparo con las figuras: los desarrollos con una corona y dos círculos corresponden a los troncos de cono y los desarrollos con un solo sector y un círculo, a los conos.

Respuesta

A–3, B–1, C–2, D–4 (los troncos de cono A y C se relacionan con los desarrollos de dos círculos, y los conos B y D con los de un solo círculo).

Ejercicio 2

¿Cuál es el área lateral del vaso?

Datos: diámetro del fondo $4\,\text{cm}\Rightarrow r=2\,\text{cm}$ ; diámetro superior $6\,\text{cm}\Rightarrow R=3\,\text{cm}$ ; generatriz $g=10\,\text{cm}$ .
El vaso es un tronco de cono, entonces $A_{L}=\pi (R+r)g$ .
Reemplazo: $A_{L}=\pi(3+2)(10)=\pi\cdot 50$ .

Respuesta

$A_{L}=50\pi\,\text{cm}^{2}\approx 157{,}08\,\text{cm}^{2}$ → alternativa a).

Ejercicio 3

¿Qué volumen de chicha bebió Andrés?

Calculo la altura del tronco de cono: $h=\sqrt{g^{2}-(R-r)^{2}}=\sqrt{10^{2}-(3-2)^{2}}=\sqrt{99}\approx 9{,}95\,\text{cm}$ .
Aplico $V=\dfrac{1}{3}\pi h\left(R^{2}+Rr+r^{2}\right)$ .
Reemplazo: $V=\dfrac{1}{3}\pi (9{,}95)\left(9+6+4\right)=\dfrac{1}{3}\pi(9{,}95)(19)$ .
$V\approx 63{,}02\pi\,\text{cm}^{3}\approx 197{,}9\,\text{cm}^{3}$ .

Respuesta

$V\approx 63\pi\,\text{cm}^{3}$ → alternativa c).

Ejercicio 4

Rotar la región verde alrededor del eje $M$ y luego alrededor del eje $N$ ; representar los sólidos.

Parte 4.a

Alrededor del eje $M$ (horizontal)

La región tiene un rectángulo $0\le x\le a$ , $0\le y\le a$ y, entre $x=a$ y $x=2a$ , la altura disminuye linealmente desde $2a$ hasta $0$ (hipotenusa de pendiente $-2$ ).
Al girar sobre $M$ , el rectángulo genera un cilindro de radio $a$ y altura $a$ .
El triángulo/región restante genera un cono de radio $2a$ y altura $a$ , apoyado sobre la cara lateral del cilindro.
Volumen total: $V_{M}=\pi a^{3}+\dfrac{1}{3}\pi (2a)^{2}a=\dfrac{7}{3}\pi a^{3}$ .

Respuesta

un cilindro de radio $a$ y altura $a$ unido a un cono de radio $2a$ y altura $a$ .

Parte 4.b

Alrededor del eje $N$ (vertical)

El contorno exterior barre un tronco de cono de radio mayor $2a$ , radio menor $a$ y altura $2a$ .
La zona entre el eje y $x=a$ (para $a\le y\le 2a$ ) queda vacía: se genera un orificio cilíndrico de radio $a$ y altura $a$ .
Volumen: $V_{N}=\dfrac{1}{3}\pi(2a)\left(4a^{2}+2a^{2}+a^{2}\right)-\pi a^{3}=\dfrac{14}{3}\pi a^{3}-\pi a^{3}=\dfrac{11}{3}\pi a^{3}$ .

Respuesta

un tronco de cono (radios $2a$ y $a$ , altura $2a$ ) con una cavidad cilíndrica de radio $a$ abierta en la cara superior, es decir, una pieza «en forma de vaso».

Ejercicio 5

30 macetas troncocónicas (radios $9\,\text{cm}$ y $27\,\text{cm}$ , generatriz $30\,\text{cm}$ ) llenas hasta $\frac{2}{3}$ de la generatriz con gel; bolsas de $5\,\text{L}$ . $\pi\approx 3{,}14$ .

Altura de la maceta: $h=\sqrt{30^{2}-(27-9)^{2}}=\sqrt{900-324}=\sqrt{576}=24\,\text{cm}$ .
Nivel de gel: $\frac{2}{3}$ de la generatriz $=20\,\text{cm}$ , luego la altura del gel es $h'=\frac{2}{3}(24)=16\,\text{cm}$ y el radio superior del gel es $r'=9+(27-9)\cdot\frac{2}{3}=9+12=21\,\text{cm}$ .
Volumen de gel por maceta: $V=\dfrac{1}{3}\pi h'\left(r'^{2}+r'r+r^{2}\right)=\dfrac{1}{3}(3{,}14)(16)\left(441+189+81\right)$ .
$V=\dfrac{1}{3}(3{,}14)(16)(711)=11\,906{,}88\,\text{cm}^{3}\approx 11{,}91\,\text{L}$ .
Volumen total: $30\times 11{,}90688\,\text{L}=357{,}21\,\text{L}$ .
Bolsas: $\dfrac{357{,}21}{5}=71{,}44$ , se redondea al entero superior.