Desviación estándar y coeficiente de variación: estaturas de los jugadores

Resolución de la Situación C

La tabla muestra las estaturas de una selección de fútbol. Hay que calcular la desviación estándar y el coeficiente de variación, y luego interpretar.

1. Marca de clase de cada intervalo, X_i=\frac{L_i+L_s}{2}:

   [169;173[ \to X_1=\frac{169+173}{2}=171; [173;177[ \to X_2=\frac{173+177}{2}=175; [177;181[ \to X_3=\frac{177+181}{2}=179; [181;185[ \to X_4=\frac{181+185}{2}=183; [185;189] \to X_5=\frac{185+189}{2}=187.

2. Media aritmética (n=23):

   \bar{x}=\frac{\sum X_i\cdot f_i}{n}=\frac{684+875+1253+732+561}{23}=\frac{4105}{23}=178{,}478\approx 178{,}48 \, \text{cm}

3. Suma de desviaciones al cuadrado ponderadas:

   \sum (X_i-\bar{x})^{2}\cdot f_i = 223{,}70+60{,}49+1{,}91+81{,}78+217{,}86 = 585{,}74

4. Varianza:

   s^{2}=\frac{\sum (X_i-\bar{x})^{2}\cdot f_i}{n}=\frac{585{,}74}{23}=25{,}47

5. Desviación estándar (aquí está el error del libro, que escribió s=25{,}47, es decir, dejó la varianza):

   s=\sqrt{25{,}47}=5{,}05 \, \text{cm}

6. Coeficiente de variación:

   CV=\frac{s}{\bar{x}}\cdot 100\%=\frac{5{,}05}{178{,}48}\cdot 100\%\approx 2{,}83\%

¿Es posible que la desviación estándar sea mayor que el rango de las estaturas? Explica.

1. Rango: R=L_{\max}-L_{\min}=189-169=20 \, \text{cm}.
2. Para datos contenidos en un intervalo de amplitud R, la desviación estándar máxima posible es \frac{R}{2}=\frac{20}{2}=10 \, \text{cm} (se alcanza con la mitad de los datos en cada extremo).
3. El valor publicado, 25{,}47, supera tanto el rango (20) como la cota máxima (10).

Verifica el procedimiento y los resultados; si son incorrectos, corrígelos e interpreta los nuevos resultados.

1. La tabla de frecuencias es correcta: \sum f_i=23, \sum X_i f_i=4105, \sum (X_i-\bar{x})^{2} f_i=585{,}74.
2. Verificación de la media: \bar{x}=\frac{4105}{23}=178{,}48 (correcto).
3. Error detectado: se escribió s=\frac{585{,}74}{23}=25{,}47, pero ese resultado es la varianza s^2; falta la raíz cuadrada.
4. Corrección: s=\sqrt{\frac{585{,}74}{23}}=\sqrt{25{,}47}=5{,}05 \, \text{cm}.
5. Corrección del coeficiente de variación: CV=\frac{5{,}05}{178{,}48}\cdot 100\%=2{,}83\% (no 14{,}2\%).