Trayectoria del lanzamiento de un balón

Situación C: Trayectoria del lanzamiento de un balón

El profesor Manuel plantea un problema sobre la trayectoria de un balón lanzado por un jugador. Se tienen dos funciones:

f(x) = 0.4x - 0.05x^2 g(x) = 1.6x - 0.2x^2

Ambas funciones son parábolas que se abren hacia abajo. Para determinar cuál modelo es más adecuado, hallamos la altura máxima de cada función.

Para f(x):

1. Identificamos los coeficientes: a = -0.05, b = 0.4.
2. Calculamos la abscisa del vértice: h = -\frac{b}{2a} = -\frac{0.4}{2(-0.05)} = \frac{0.4}{0.1} = 4
3. Sustituyendo h en f(x) para encontrar la altura máxima: f(4) = 0.4(4) - 0.05(4^2) = 1.6 - 0.8 = 0.8 ext{ m}

Para g(x):

1. Identificamos los coeficientes: a = -0.2, b = 1.6.
2. Calculamos la abscisa del vértice: h = -\frac{b}{2a} = -\frac{1.6}{2(-0.2)} = \frac{1.6}{0.4} = 4
3. Sustituyendo h en g(x) para encontrar la altura máxima: g(4) = 1.6(4) - 0.2(4^2) = 6.4 - 3.2 = 3.2 ext{ m}

• La altura máxima de f(x) es 0.8 ext{ m}.
• La altura máxima de g(x) es 3.2 ext{ m}.

Conclusión

El modelo g(x) es más adecuado, ya que permite que el balón alcance una altura de 3.2 ext{ m}, superando la altura máxima que puede saltar el arquero (2.5 ext{ m}). Por lo tanto, el jugador tiene más probabilidades de anotar un gol con este modelo.

Respuestas a las preguntas

1. La abscisa en el vértice representa el tiempo en segundos en el que se alcanza la altura máxima, y la ordenada representa la altura máxima alcanzada por el balón.
2. El procedimiento es correcto, pero se debe considerar que el modelo g(x) es el más adecuado para anotar el gol.