Página — Matematica 5° Secundaria (pág. 70)

长医商

situación B: Beneficios en una empresa

El contador de una empresa de comida rápida,especializada en la venta de pizzas, concluyó que los beneficios anuales dependen del número de repartidores con los que cuenta; además, que estos beneficios se determinan según el siguiente modelo matemático:B(x)=-27x^{2}+1890x+9855 donde B(x) es el beneficio anual en soles para x repartidores.

a. iCuántos repartidores debe tener la empresa para que su beneficio anual sea máximo?

b.iCuál será el valor de dicho beneficio máximo?

Ten en cuenta

Puedes hallar el vértice de una función cuadrática empleando el método de completar el cuadrado. Para ello, dale a la función cuadrática la siguiente

f(x)=\alpha(x-h)^{2}+k

EI vértice sería V(h;k)

Por ejemplo, halla el vértice de la siguiente función:

f(x)=3x^{2}-12x+27

\begin{array}{c}\mathsf{A}\mathsf{n}\mathsf{a}\mathsf{l}\mathsf{i}\mathsf{z}\mathsf{a}\mathsf{e}\mathsf{l}\mathsf{proceso}\mathsf{de}\\\mathsf{so}\mathsf{l}\mathsf{u}\mathsf{c}\mathsf{i}\mathsf{\acute{o}}\mathsf{n},\end{array}

Divide entre 3 para que \alpha=+1

\frac{f(x)}{3}=x^{2}-4x+9

Suma y resta el cuadrado de la mitad del coeficiente del

\mathrm{termin}\quad\mathrm{linear}\left(\frac{4}{2}=2\right);

\frac{f(x)}{3}=x^{2}-4x+2^{2}-2^{2}+9

Se forma el trinomio cuadrado perfecto:

\begin{aligned}&f(x)=(x-2)^2+5\\&\frac{f(x)}{3}=(x-2)^2-2^2+9\\&\frac{f(x)}{3}=(x-2)^2+5\\&f(x)=3(x-2)^2+15\\&\quad\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \

A continuación, analizamos los procedimientos planteados y completamos.

Resolución

Tenemos la función cuadrática B(x)=-27x^{2}+1890x+9855

Vemos en la función que a=-27<0; ;entonces, la parábola se abre hacia abajo, y tendrá un valor máximo cuando se determinen las coordenadas del vértice.

Dividimos a la función entre para que el coeficiente del término cuadrático sea +1.

Obtenemos

\frac{B(x)}{\cdots\cdots\cdots}=\frac{-27x^{2}}{\cdots\cdots\cdots}+\frac{1890x}{\cdots\cdots\cdots}+\frac{9855}{\cdots\cdots\cdots}

En el segundo miembro sumamos y restamos el cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal \left(\frac{70}{2}=35\right)

\frac{B(x)}{-27}=x^{2}-70x+35^{2}-35^{2}-365

Formamos el trinomio cuadrado perfecto:

\frac{B(x)}{-27}=(\ldots\ldots\ldots)^2-1590

Damos forma:

\begin{aligned}&B(x)=-27(\ldots\ldots\ldots\ldots)^2-1590(-27)\\ &B(x)=-27(\ldots\ldots\ldots\ldots)^2+42\ 930\\ \end{aligned}

Hallamos el vértice:

V(h;k)=V(35;42930)

Respuestas:

a. Debe tener 35 repartidores.

b. El máximo beneficio en un año será S/42 930.




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Ficha 6 | Matemática 5

Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio