Funciones Cuadráticas y Aplicaciones

La función cuadrática que describe la trayectoria de la pelota es y = -0.05x^{2} + 0.7x. Para encontrar la altura máxima, utilizamos la fórmula del vértice de una parábola, que se encuentra en x = -\frac{b}{2a}.

1. Identificamos los coeficientes: a = -0.05, b = 0.7.
2. Sustituimos en la fórmula del vértice: x = -\frac{0.7}{2(-0.05)} = 7
3. Sustituyendo x = 7 en la función para encontrar y: y = -0.05(7)^{2} + 0.7(7) = -0.05(49) + 4.9 = -2.45 + 4.9 = 2.45
4. La altura máxima es 2.45 ext{ m} y se alcanza a 7 ext{ m} del punto de lanzamiento.

Para determinar el modelo cuadrático, definimos x como la cantidad de rebaja en soles. El número de clientes se puede expresar como: N(x) = 8000 + 1000\left(\frac{5 - x}{5}\right)

1. Simplificamos: N(x) = 8000 + 2000 - 2000\frac{x}{5} = 10000 - 400x
2. El modelo cuadrático es N(x) = -400x^{2} + 10000.

Para maximizar el área del corral rectangular, utilizamos la fórmula del perímetro: P = 2(l + w) = 18

1. Despejamos w: w = 9 - l
2. El área es: A = l(9 - l) = 9l - l^{2}
3. Para encontrar el área máxima, usamos el vértice: l = \frac{9}{2} = 4.5
4. Sustituyendo: A = 4.5(9 - 4.5) = 20.25 ext{ m}^2

El área del establo es A = l \times w = 40 \times 20 = 800 ext{ m}^2. El perímetro es: P = 2(l + w) = 2(40 + 20) = 120 ext{ m}

1. El granjero tiene 80 m de listones, por lo que no puede cercar el establo con el perímetro de 120 m.