Planteamiento y validación de conjeturas sobre cuadriláteros

Análisis de las afirmaciones iniciales

Las estudiantes podrían responder lo siguiente:

• “Todos los cuadriláteros tienen al menos un par de lados paralelos”.
• “Solo los cuadriláteros 1, 4 y 5 tienen dos pares de lados paralelos”.
• “Los cuadriláteros 1 y 4 tienen diagonales perpendiculares”.
• “Los cuadriláteros 1 y 5 tienen ángulos de igual medida”.

1. La primera afirmación es falsa: existen cuadriláteros sin ningún par de lados paralelos, como un trapezoide irregular.
2. La segunda afirmación depende de la figura de la página anterior. No puede validarse sin ver los cuadriláteros 1, 4 y 5.
3. La tercera afirmación también depende de la figura. Si 1 y 4 son rombos o cuadrados, sus diagonales son perpendiculares; pero no se puede confirmar sin la imagen.
4. La cuarta afirmación depende de la figura y del tipo de cuadrilátero: en un paralelogramo los ángulos opuestos son iguales, pero no necesariamente todos.

Se pide formular conjeturas con la estructura “Si... entonces...”.

Conjetura 1

Enunciado: “Si un cuadrilátero tiene al menos un par de lados paralelos, entonces será un rectángulo”.

• Antecedente: tener al menos un par de lados paralelos.
• Consecuente: ser un rectángulo.

1. Un trapecio tiene al menos un par de lados paralelos.
2. Un trapecio no tiene por qué tener cuatro ángulos rectos.
3. Por lo tanto, la conjetura es falsa.

Conjetura 2

Enunciado: “Si un cuadrilátero tiene diagonales de igual medida, entonces es un paralelogramo”.

• Antecedente: tener diagonales de igual medida.
• Consecuente: ser un paralelogramo.

1. Un trapecio isósceles tiene diagonales de igual medida.
2. Un trapecio isósceles no es un paralelogramo, porque solo tiene un par de lados paralelos.
3. Por lo tanto, la conjetura es falsa.

Respuesta: Falsa. Contraejemplo: un trapecio isósceles.

Pregunta: ¿de qué manera podrían comprobar la verdad o falsedad de su conjetura?

La validación se realiza con ejemplos y contraejemplos. Un ejemplo no demuestra que una conjetura sea verdadera para todos los casos; en cambio, un solo contraejemplo basta para demostrar que es falsa. Para probar que una conjetura es verdadera se necesita una demostración deductiva.

Respuesta orientativa: Se comprueba buscando casos que cumplan el antecedente. Si algún caso cumple el antecedente y no el consecuente, la conjetura es falsa. Si no se encuentra contraejemplo, se requiere una demostración.