Ejemplos y contraejemplos: conjetura sobre diagonales iguales en cuadriláteros

Conjetura a validar

Si un cuadrilátero tiene diagonales de igual medida, entonces es un paralelogramo.

Forma lógica: si P (diagonales iguales) entonces Q (es paralelogramo).

1. Un ejemplo exige que P sea verdadero y Q también.
2. Un contraejemplo exige P verdadero y Q falso; basta uno para refutar la conjetura.
3. Los casos donde P es falso no sirven ni como ejemplo ni como contraejemplo.

Análisis de cada figura

Cuadrado

1. Un cuadrado es un paralelogramo (lados opuestos paralelos).
2. Sus diagonales son iguales: d_{1}=d_{2}.
3. Cumple antecedente y consecuente.

Rectángulo

1. El rectángulo es paralelogramo con ángulos de 90^\circ.
2. Sus diagonales son congruentes: d_{1}=d_{2}.
3. Cumple antecedente y consecuente.

Respuesta: es ejemplo de la conjetura.

Trapecio isósceles

1. Es un cuadrilátero con un solo par de lados paralelos, por lo tanto no es paralelogramo.
2. En todo trapecio isósceles las diagonales son congruentes: d_{1}=d_{2}.
3. Antecedente verdadero, consecuente falso.

Respuesta: es contraejemplo; por lo tanto la conjetura es falsa.

Rombo

1. El rombo sí es paralelogramo (consecuente verdadero).
2. Pero sus diagonales no son iguales: son perpendiculares y de distinta medida (salvo el caso particular del cuadrado).
3. Antecedente falso: no es ejemplo ni contraejemplo.

Respuesta: no es ejemplo ni contraejemplo.

Trapecio escaleno

1. No es paralelogramo (consecuente falso).
2. Sus diagonales no son iguales (antecedente falso).
3. Falla P y falla Q.

Respuesta: no es ejemplo ni contraejemplo.

1. Como el trapecio isósceles tiene diagonales iguales y no es paralelogramo, la conjetura «si un cuadrilátero tiene diagonales iguales entonces es paralelogramo» queda refutada.
2. La conjetura verdadera relacionada sería: «si un cuadrilátero es un paralelogramo con diagonales iguales, entonces es un rectángulo».

Respuesta orientativa: La conjetura es falsa; el contraejemplo decisivo es el trapecio isósceles. Se concluye que tener diagonales congruentes es condición necesaria pero no suficiente para ser paralelogramo, y se reformula la conjetura restringiéndola a los paralelogramos (rectángulo).