Ejercicio 1
Analiza la tabla, comprueba la relación entre las medidas, determina qué canaletas son válidas y halla el área máxima.
- Al doblar los bordes de una lámina de 20 \, \text{cm} se forma una base horizontal x y dos alturas iguales y, por lo que la lámina se reparte así: x + 2y = 20 \;\Rightarrow\; x = 20 - 2y
- Comprobación con la primera fila (y = 5{,}5 \, \text{cm}): x = 20 - 2(5{,}5) = 20 - 11 = 9 \, \text{cm} que coincide con el valor de la tabla.
- El área de la sección de la canaleta es el área de un rectángulo: A = x \cdot y = (20 - 2y)\,y = 20y - 2y^{2}
- Verificación de las áreas de la tabla, por ejemplo:
- y = 5{,}0: A = (20 - 10)(5) = 10 \times 5 = 50{,}0 \, \text{cm}^{2}
- y = 4{,}5: A = (20 - 9)(4{,}5) = 11 \times 4{,}5 = 49{,}5 \, \text{cm}^{2}
- y = 3{,}0: A = (20 - 6)(3) = 14 \times 3 = 42{,}0 \, \text{cm}^{2}
- y = 2{,}5: A = (20 - 5)(2{,}5) = 15 \times 2{,}5 = 37{,}5 \, \text{cm}^{2}
- Condición de validez: la canaleta resulta útil solo si su altura (lado vertical) alcanza al menos 3 \, \text{cm}, es decir: y \ge 3 \, \text{cm} Por eso las filas con y = 2{,}5;\, 2{,}0;\, 1{,}5;\, 1{,}0;\, 0{,}5 \, \text{cm} aparecen marcadas con NO.
- Área máxima: A(y) = -2y^{2} + 20y es una parábola con a = -2 < 0, y su vértice da el máximo: y_{v} = -\frac{20}{2(-2)} = 5 \, \text{cm} A_{max} = (20 - 2 \cdot 5)(5) = 10 \times 5 = 50 \, \text{cm}^{2}
- Como el lado horizontal va de 6 \, \text{cm} como mínimo a 14 \, \text{cm} como máximo (y el vertical de 3 \, \text{cm} a 7 \, \text{cm}), las medidas posibles de la canaleta son 6 \times 7, 8 \times 6, 10 \times 5, 12 \times 4 y 14 \times 3 \, \text{cm}^{2}.
Respuesta
La canaleta de mayor área es la de 10 \, \text{cm} de base por 5 \, \text{cm} de altura, con A = 50 \, \text{cm}^{2}.
