Ejercicio 1
A partir de una plancha rectangular de 20 \, \text{cm} \times 300 \, \text{cm} se elaboran canaletas rectangulares plegando los bordes. Determina qué dimensiones de la sección transversal dan un área entre 39,62 \, \text{cm}^{2} y 56,62 \, \text{cm}^{2}.
- La plancha tiene 20 \, \text{cm} de ancho, repartidos entre la base horizontal b y los dos lados plegados de altura h: b + 2h = 20.
- Despejando la altura: h = \frac{20 - b}{2}.
- El área transversal (rectángulo) es base por altura: A_{T} = b \cdot h = \frac{b\,(20-b)}{2}.
- Verificamos la fila b = 1 \, \text{cm}: h = \frac{20-1}{2} = 9,5, A_{T} = 1 \times 9,5 = 9,5 \, \text{cm}^{2} (NO cumple).
- Verificamos la fila b = 6 \, \text{cm}: h = \frac{20-6}{2} = 7, A_{T} = 6 \times 7 = 42 \, \text{cm}^{2} (SÍ cumple).
- Verificamos la fila b = 8 \, \text{cm}: h = \frac{20-8}{2} = 6, A_{T} = 8 \times 6 = 48 \, \text{cm}^{2} (SÍ cumple).
- Comparamos con el intervalo 39,62 < A_{T} < 56,62: los valores 9,5; 18; 25,5; 32 y 37,5 quedan por debajo, así que ninguna de esas filas cumple.
- Solo desde b = 6 \, \text{cm} el área supera 39,62 \, \text{cm}^{2}.
Respuesta: Cumplen las canaletas con lado horizontal b = 6, 7 \text{ y } 8 \, \text{cm}, con lados verticales h = 7;\ 6,5 \text{ y } 6 \, \text{cm} y áreas 42;\ 45,5 \text{ y } 48 \, \text{cm}^{2}.
Parte 1.a
(ampliación)
Enunciado: Si se continúa plegando, ¿hasta qué valor de b se mantiene la condición?
- La función A_{T}(b) = \frac{b(20-b)}{2} = \frac{20b - b^{2}}{2} es una parábola con máximo en b = 10.
- Área máxima: A_{T} = \frac{10 \times 10}{2} = 50 \, \text{cm}^{2}.
- Resolvemos \frac{b(20-b)}{2} = 39,62: b^{2} - 20b + 79,24 = 0, de donde b = \frac{20 \pm \sqrt{83,04}}{2} \approx 5,44 y 14,56.
Respuesta
Cumplen todos los valores enteros b = 6 a 14 \, \text{cm} (áreas entre 42 y 50 \, \text{cm}^{2}).
