Practicamos — Potencias y decrecimiento exponencial

Población de 100\,000 insectos decrece a \frac{3}{4} por año. Hallar t tal que quede menos de la cuarta parte.

1. Modelo: P(t) = 100\,000 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^t.
2. Condición: P(t) < \frac{100\,000}{4} = 25\,000, es decir \left(\frac{3}{4}\right)^t < \frac{1}{4}.
3. Verificamos t = 4: \left(\frac{3}{4}\right)^4 = \frac{81}{256} \approx 0{,}316 > 0{,}25 — no cumple.
4. Verificamos t = 5: \left(\frac{3}{4}\right)^5 = \frac{243}{1024} \approx 0{,}237 < 0{,}25 — cumple.

Tienda con stock inicial 1024 artículos; cada semana vende la mitad.

Hallar la mitad de \left(\frac{1}{2}\right)^{-1}+\left(\frac{1}{8}\right)^{-1}-\left(\frac{1}{4}\right)^{-1}.

1. Aplicamos \left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a}: 2 + 8 - 4 = 6.
2. Mitad: \frac{6}{2} = 3.

¿Cuál es equivalente a \left(\frac{1}{3}\right)^3 \cdot \left(\frac{3}{10}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{7}\right)^3?

1. Factorizamos el exponente: \left[\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{10} \cdot \frac{5}{7}\right]^3.
2. Producto de fracciones: \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{3 \cdot 10 \cdot 7} = \frac{15}{210} = \frac{1}{14}.
3. Resultado: \left(\frac{1}{14}\right)^3.

Cinta de 128\,\text{cm} de longitud doblada por la mitad 4 veces.

1. Potencia relacionada: \left(\frac{1}{2}\right)^4.
2. Longitud tras el 4.° doblez: 128 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 = 128 \cdot \frac{1}{16} = 8\,\text{cm}.

Masa hombre = 70\,\text{kg}; masa virus = 10^{-21}\,\text{kg}. Relación masa hombre / masa virus.

1. \frac{70}{10^{-21}} = 70 \times 10^{21} = 7 \times 10^{22}.

Virus pesa 10^{-18}\,\text{g}; ballena azul \approx 138 toneladas = 1{,}38 \times 10^{8}\,\text{g}. ¿Cuántos virus equivalen a una ballena?

1. Convertimos ballena: 138\,\text{t} = 138 \times 10^{6}\,\text{g} = 1{,}38 \times 10^{8}\,\text{g}.
2. Cantidad de virus: \frac{1{,}38 \times 10^{8}}{10^{-18}} = 1{,}38 \times 10^{26}.