Página — Saberes Y Pensamiento Cientifico 3 (pág. 132)

Se observa que ambas áreas, sin importar dónde se ubique el plano P, son iguales, así que es posible considerar el principio de Cavalieri, y entonces calcular el volumen del sólido de la derecha (el cilindro al que se le quitaron los conos) y así obtener el volumen del sólido de la izquierda (la esfera):

V_{cilindro}=\pi r^{2}b=\pi r^{2}(2r)

V_{\mathrm{conos}}=\frac{1}{3}\pi r^{2}b=\frac{1}{3}\pi r^{2}(2r)

Entonces:

\begin{aligned}V_{\text{clindro}}-V_{\text{conos}}=\pi r^{2}(2r)-2\left(\frac{1}{3}\pi r^{2}(r)\right)\\=2\pi r^{3}-\frac{2}{3}\pi r^{3}\\=\frac{4}{3}\pi r^{3}\end{aligned}

Esto quiere decir, por el principio de Cavalieri, que el volumen de una esfera de radio r también es \frac{4}{3}\pi r^{3}

Los sólidos esfera, cono y cilindro están vinculados en su forma, pero también en el cálculo de sus volúmenes. Así, por un lado, si las bases de un cilindro y un cono tienen el mismo radio, y sus alturas también son iguales, el volumen del cono será un tercio del que tiene el cilindro.

Por otro lado, si un cilindro recto tiene el mismo radio en su base que una esfera, y su altura es el doble del radio, el volumen de la esfera es dos tercios el volumen del cilindro.

Como se ha mostrado, los cálculos en los volúmenes de los tres sólidos están vinculados entre sí. Esta relación ocurre en buena medida porque los tres sólidos están construidos con superfi cies curvas que pueden, de una u otra manera, ser generadas a partir de círculos.

求

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