Permutaciones con repetición

Cuando se quiere saber el número de permutaciones en un conjunto de objetos con elementos repetidos, se analiza la situación dependiendo de los datos con los que se cuenta para hacer uso de la fórmula de permutaciones con repetición.

Las permutaciones con repetición se realizan si se tiene un conjunto de n elementos de los cuales k_{1} son iguales,k_{2} son iguales, etcétera. De esta manera se cumple que la cantidad de permutaciones es k_{1}!\bullet k_{2}!\bullet\ldots\bullet k_{m}! y, por tanto:

P_{\mathrm{Rep}}=\frac{n!}{k_1!\bullet k_2!\bullet\ldots\bullet k_m!}

P_{\mathrm{Rep}}=\frac{n!}{k_1!\bullet k_2!\bullet\ldots\bullet k_m!}

Las permutaciones con repetición se utilizan en conjuntos de elementos.A continuación, se muestra un ejemplo para entender mejor dicha condición.

Ejemplo

El total de las letras que tiene la palabra MATEMATICA es n=10

Para saber cuántas palabras con o sin sentido se pueden formar con todas las letras, primero se debe observar las letras que se repiten.

La letra M se repite 2 veces, es decir,k_{1}=2 La letra A se repite 3 veces (k_{2}=3) La letra T se repite 2 veces (k_{3}=2)

cid ntonces el número de palabras que se pueden formar es:

\begin{aligned}&\frac{10!}{2!\bullet3!\bullet2!}=\frac{10\bullet9\bullet8\bullet7\bullet6\bullet5\bullet4\bullet3\bullet2\bullet1}{(2\bullet1)\bullet(3\bullet2\bullet1)\bullet(2\bullet1)}\\ &\\ &=\frac{3628800}{2\bullet6\bullet2}=151200\\ \end{aligned}

Las permutaciones y las permutaciones con repeticiones no son las mismas. Las primeras únicamente hacen la multiplicación de manera direc ta, a diferencia de las permutaciones con repeticiones, en las que primero se obtiene el factorial del total de datos y luego éste se divide entre las multiplicaciones del factorial de los datos con repetición.

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