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Combinaciones: definición, fórmula y ejemplo del comité escolar

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Respuesta rápida

Hombres: $C_{4}^{2}=6$ . Mujeres: $C_{5}^{3}=10$ . Total de comités: $6\times 10=60$ .

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Solución — Página 153

Colección Ximhai. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 1° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejemplo: comité de la escuela

Se renueva un comité de 5 integrantes: 2 hombres y 3 mujeres, eligiendo de 4 hombres y 5 mujeres. Se calculan las combinaciones posibles.

Elección de los 2 hombres

Datos: $n=4$ hombres, $k=2$ lugares.
Fórmula: $C_{n}^{k}=\dfrac{n!}{(n-k)!\,k!}$ .
Sustitución: $C_{4}^{2}=\dfrac{4!}{(4-2)!\,2!}=\dfrac{4!}{2!\,2!}$ .
Desarrollo: $C_{4}^{2}=\dfrac{4\times 3\times 2\times 1}{(2\times 1)(2\times 1)}=\dfrac{24}{4}=6$ .

Respuesta: $6$ formas de elegir a los hombres.

Elección de las 3 mujeres

Datos: $n=5$ mujeres, $k=3$ lugares.
Fórmula: $C_{n}^{k}=\dfrac{n!}{(n-k)!\,k!}$ .
Sustitución: $C_{5}^{3}=\dfrac{5!}{(5-3)!\,3!}=\dfrac{5!}{2!\,3!}$ .
Desarrollo: $C_{5}^{3}=\dfrac{120}{2\times 6}=\dfrac{120}{12}=10$ .

Respuesta: $10$ formas de elegir a las mujeres.

Total de comités

Principio multiplicativo: se combinan las elecciones independientes.
$C_{4}^{2}\times C_{5}^{3}=6\times 10=60$ .

Respuesta: el comité puede construirse de $60$ maneras distintas.

Contenido de la página

Combinaciones

En las combinaciones, a diferencia de lo que sucede con las permutaciones, el orden de los elementos no es importante; sin embargo, se deben tomar en cuenta todos los datos que muestra la situación, sin dejar alguno fuera.

En un conjunto de $n$ elementos, las combinaciones son diferentes grupos que se forman al tomar una cantidad de $k$ elementos donde $k<n$ , sin tomar en cuenta el orden en el que están.

Dado un conjunto de $n$ elementos, la cantidad de conjuntos de $k$ elementos que se pueden obtener sin repetir ninguno de ellos, se calcula como:

$C_{n}^{k}=\frac{n!}{(n-k)!\,k!}$

En el siguiente ejemplo se observan las combinaciones:

Se hace la renovación del comité de una escuela, el cual consta de cinco integrantes; sólo se pueden escoger 2 hombres y 3 mujeres de un total de 4 hombres y 5 mujeres. Calcular las diferentes combinaciones como puede construirse el comité.

Ejemplos resueltos

Se renueva un comité de 5 integrantes: 2 hombres y 3 mujeres, de un total de 4 hombres y 5 mujeres. ¿De cuántas formas puede construirse el comité?

Hombres: $C_{4}^{2}=\frac{4!}{2!\,2!}=6$ . Mujeres: $C_{5}^{3}=\frac{5!}{2!\,3!}=10$ . Total: $6\times 10=60$ comités.

Fórmulas y ecuaciones

$C_{n}^{k}=$ $\frac{n!}{(n-k)!\,k!}$

$C_{4}^{2}=$ $\frac{4!}{2!\,2!}$ =6

$C_{5}^{3}=$ $\frac{5!}{2!\,3!}$ =10

$C_{4}^{2}\times$ $C_{5}^{3}=60$

Glosario (4)

Combinación: Agrupación de $k$ elementos tomados de un conjunto de $n$, donde el orden no importa.
Factorial: Producto de todos los enteros positivos desde 1 hasta $n$, denotado $n!$.
Permutación: Agrupación en la que sí importa el orden de los elementos.
Principio multiplicativo: Si una elección tiene $m$ formas y otra $n$ formas, juntas tienen $m\times n$ formas.

Preguntas para practicar

¿Por qué en las combinaciones el orden no importa?

Porque una combinación describe únicamente qué elementos forman el grupo, no la secuencia en que se eligieron. Por ejemplo, elegir a Ana y Luis es el mismo comité que elegir a Luis y Ana. Por eso se divide entre $k!$, que son las ordenaciones internas de cada grupo.

Temas y conceptos clave

CombinacionesConteoProbabilidadEl orden no importa en las combinacionesFórmula C(n,k)=n!/((n-k)!k!)Selección sin repeticiónPrincipio multiplicativo

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Figuras de la página (1)

Ilustración de nueve estudiantes (cuatro hombres y cinco mujeres) que representan al conjunto del cual se elige el comité escolar. — Figura 1 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cuál es la diferencia entre combinaciones y permutaciones?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se calcula C(n,k) paso a paso?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cuándo se usa el principio multiplicativo en combinaciones?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Concepto de factorial
• Conteo básico y principio multiplicativo
• Diferencia entre ordenar y agrupar

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Combinaciones con repetición y aplicaciones del coeficiente binomial

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Combinaciones

En un conjunto de n elementos, las combinaciones son diferentes grupos que se forman al tomar una cantidad de k elementos donde $k<n,$ sin tomar en cuenta el orden en el que están.

Dado un conjunto de n elementos, la cantidad de conjuntos de k elementos que se pueden obtener sin repetir ninguno de ellos, se calcula como:

$\mathrm{C}_{n}^{k}=\frac{n!}{(n-k)!k!}$

En el siguiente ejemplo se observan las combinaciones:

Se hace la renovación del comité de una escuela, el cual consta de cinco integrantes; sólo se pueden escoger 2 hombres y 3 mujeres de un total de 4 hombres $y5$ mujeres. Calcular las diferentes combinaciones como puede construirse el comité.

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