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Alturas, ortocentro, medianas y baricentro de un triángulo

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Ortocentro: corte de las alturas. Baricentro: corte de las medianas, centro de gravedad. El baricentro divide cada mediana en razón $2:1$ .

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 174

Colección Ximhai. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 1° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Alturas y ortocentro

Las alturas de un triángulo son las rectas perpendiculares a cada lado (o a su prolongación) que pasan por el vértice opuesto. Pueden quedar dentro o fuera del triángulo. El punto donde se cortan las tres alturas se llama ortocentro y se denota con $O$ .

Trazo con escuadra

Se prolongan los lados $AB$ y $BC$ .
Se trazan rectas perpendiculares a cada lado o a su prolongación, que pasen por el vértice opuesto.
Se localiza el ortocentro $O$ en la intersección de las alturas del triángulo.

Respuesta orientativa: En un triángulo acutángulo el ortocentro queda dentro; en un rectángulo coincide con el vértice del ángulo recto; en un obtusángulo queda fuera del triángulo.

Medianas y baricentro

Las medianas de un triángulo son las rectas que pasan por el punto medio de cada lado y su vértice opuesto. El punto donde se cortan o intersecan se llama baricentro y se denota como $G$ .

Respuesta orientativa: El baricentro es el centro de gravedad del triángulo y siempre queda en el interior de este. Divide a cada mediana en dos segmentos: uno el doble del otro, es decir, la distancia del vértice al baricentro es $\frac{2}{3}$ de la mediana.

Aplicación: ubicación de un hospital

Cuando se desea construir un hospital a la misma distancia de tres localidades, en un plano se identifica cada una, se traza un triángulo y se localiza el baricentro, el cual sería el lugar ideal para construir el hospital.

Respuesta orientativa: El baricentro es el punto que equidista de los tres vértices solo en el caso de un triángulo equilátero; en general, el punto que equidista de tres puntos es el circuncentro. Sin embargo, el texto propone el baricentro como punto de equilibrio y referencia práctica para distribuir el servicio entre las tres localidades.

Contenido de la página

Las alturas de un triángulo son las rectas perpendiculares a cada lado del triángulo o su prolongación y pasan por el vértice opuesto. Dichas alturas pueden estar dentro o fuera del triángulo. Al punto donde se cortan las alturas de un triángulo se le denomina ortocentro. A continuación, se muestra cómo trazar las alturas de un triángulo con apoyo de una escuadra.

Se prolongan los lados $AB$ y $BC$ .
Se trazan rectas perpendiculares a cada lado o prolongación de este, que pasen por el vértice opuesto.
Se localiza el ortocentro $O$ en la intersección de las alturas del triángulo.

Las medianas de un triángulo son las rectas que pasan por el punto medio de cada lado y su vértice opuesto; el punto donde se cortan o intersecan se llama baricentro, y se denota como $G$ . Se muestra un ejemplo en la imagen de la derecha.

El trazo de rectas especiales en un triángulo permite localizar puntos notables que cumplen con propiedades específicas. Estas rectas y puntos notables son de gran utilidad en la arquitectura, el diseño, el arte y otras áreas.

Por ejemplo, cuando se desea construir un hospital a la misma distancia de tres localidades, en un plano se identifica cada una, se traza un triángulo y se localiza el baricentro, el cual sería el lugar ideal para construir el hospital.

Ejemplos resueltos

Traza las alturas de un triángulo $ABC$ con apoyo de una escuadra y localiza el ortocentro $O$ .

Se prolongan los lados $AB$ y $BC$ .
Con la escuadra se trazan rectas perpendiculares a cada lado o a su prolongación, que pasen por el vértice opuesto.
Se localiza el ortocentro $O$ en la intersección de las tres alturas.

Respuesta: El ortocentro $O$ es el punto donde se cortan las tres alturas.

Traza las medianas de un triángulo $ABC$ y localiza el baricentro $G$ .

Se halla el punto medio de cada lado del triángulo.
Se traza una recta desde cada vértice hasta el punto medio del lado opuesto.
Se localiza el baricentro $G$ en la intersección de las tres medianas.

Respuesta: El baricentro $G$ es el punto donde se cortan las tres medianas y coincide con el centro de gravedad del triángulo.

Tabla

Recta notable	Definición	Punto de corte	Símbolo
Altura	Perpendicular a un lado o su prolongación, pasa por el vértice opuesto	Ortocentro	$O$
Mediana	Pasa por el punto medio de un lado y el vértice opuesto	Baricentro	$G$

Diagrama

graph TD
  A[Rectas notables del triángulo] --> B[Alturas]
  A --> C[Medianas]
  B --> D[Ortocentro O]
  C --> E[Baricentro G]
  D --> F[Puede estar dentro o fuera]
  E --> G[Centro de gravedad]
  F --> H[Aplicaciones: arquitectura, diseño, arte]
  G --> H

Fórmulas y ecuaciones

$\text{Altura: recta perpendicular al lado que pasa por el vértice opuesto}$

$\text{Mediana: recta del vértice al punto medio del lado opuesto}$

$\overline{AB}$ $\perp$ $\overline{CO}$

$\overline{AM}$ = $\overline{MB}$

$\frac{AG}{GM}$ = $\frac{2}{1}$

Glosario (5)

Altura: Recta perpendicular a un lado del triángulo o a su prolongación que pasa por el vértice opuesto.
Ortocentro: Punto donde se cortan las tres alturas de un triángulo; se denota con O.
Mediana: Recta que pasa por el punto medio de un lado y el vértice opuesto.
Baricentro: Punto donde se cortan las tres medianas de un triángulo; se denota con G y es su centro de gravedad.
Punto notable: Punto de intersección de rectas especiales de un triángulo que cumple propiedades específicas.

Preguntas para practicar

¿En qué casos el ortocentro queda fuera del triángulo?

El ortocentro queda fuera del triángulo cuando este es obtusángulo, es decir, cuando tiene un ángulo mayor de $90^\circ$. En un triángulo acutángulo queda dentro y en un triángulo rectángulo coincide con el vértice del ángulo recto.

¿Por qué el baricentro se considera el centro de gravedad del triángulo?

Porque si se suspende una lámina triangular desde cualquiera de sus vértices, la línea de suspensión pasa por el baricentro. Además, divide cada mediana en dos segmentos cuya razón es $2:1$, lo que lo convierte en el punto de equilibrio de la figura.

¿Cómo aplicarías los puntos notables para ubicar un servicio a la misma distancia de tres comunidades?

Se ubican las tres comunidades en un plano, se unen formando un triángulo y se trazan las mediatrices de cada lado. El punto de corte, llamado circuncentro, equidista de los tres vértices y sería el lugar ideal para el servicio.

Temas y conceptos clave

Alturas de un triánguloOrtocentroMedianas de un triánguloBaricentroAplicaciones de los puntos notablesAlturaOrtocentroMedianaBaricentroPunto notableRecta perpendicular

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Figuras de la página (2)

Triángulo $ABC$ con sus tres alturas trazadas con escuadra; las alturas se prolongan y se cortan en el ortocentro $O$, ubicado fuera del triángulo. — Figura 1 image

Triángulo $ABC$ con sus tres medianas trazadas; se cortan en el baricentro $G$, ubicado dentro del triángulo. — Figura 2 image

Preguntas que la gente también hace

¿Qué es el ortocentro de un triángulo y cómo se traza?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cuál es la diferencia entre ortocentro y baricentro?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se localiza el baricentro de un triángulo?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Elementos de un triángulo: vértices, lados y ángulos
• Trazado de rectas perpendiculares con escuadra
• Punto medio de un segmento

Siguiente tema sugerido

Mediatrices y circuncentro de un triángulo

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1382 caracteres

Las alturas de un triángulo son las rectas perpendiculares a cada lado del triángulo o su prolongación y pasan por el vértice opuesto. Dichas alturas pueden estar dentro o fuera del triángulo. Al punto donde se cortan las alturas de un triángulo se le denomina ortocentro. A continuación, se muestra cómo trazar las alturas de un triángulo con apoyo de una escuadra.

Se prolongan los lados AB y BC.
Se trazan rectas perpendiculares a cada lado o prolongación de éste, que pasen por el vértice opuesto.
Se localiza el ortocentro O en la intersección de las alturas del triángulo.

Las medianas de un triángulo son las rectas que pasan por el punto medio de cada lado y su vértice opuesto, el punto donde se cortan o intersecan se lama baricentro, y se denota como G. Se muestra un ejemplo en la imagen de la derecha.

El trazo de rectas especiales en un triángulo permite localizar puntos notables que cumplen con propiedades especifi cas. Estas rectas y puntos notables son de gran utilidad en la arquitectura, el diseño, el arte y otras áreas.

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