Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 1 EGB

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Razón, proporción y proporcionalidad en el plano cartesiano

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Respuesta rápida

Razón: $\frac{a}{b}=k$ . Proporción: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$ . Proporcionalidad directa: recta. Proporcionalidad inversa: $ab=k$ , hipérbola.

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 170

Colección Ximhai. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 1° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejercicio 1

Contenido teórico

La página presenta los conceptos básicos para representar relaciones entre cantidades.

Ejercicio 1

Graficación en el plano cartesiano

Para ubicar un punto $P(x,y)$ :

En el eje $x$ : los valores negativos se mueven a la izquierda y los positivos a la derecha.
En el eje $y$ : los valores positivos se mueven hacia arriba y los negativos hacia abajo.
Se colocan todos los puntos y se unen con una línea.

Si la relación es proporcional, la gráfica es una recta. Si es de proporcionalidad inversa, la gráfica es una curva que se acerca a los ejes, llamada hipérbola.

Ejercicio 2

Razón

Una razón compara dos cantidades relacionadas por una constante:

$\frac{a \rightarrow \text{antecedente}}{b \rightarrow \text{consecuente}} = k \rightarrow \text{cociente}$

Se lee: " $a$ es a $b$ ".

Ejercicio 3

Proporción

Una proporción compara dos razones:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$

Se lee: " $a$ es a $b$ como $c$ es a $d$ ".

Ejercicio 4

Proporcionalidad directa

Si dos cantidades son directamente proporcionales, al aumentar o disminuir una, la otra lo hace en la misma razón:

$\frac{a}{b} = k$

Ejercicio 5

Proporcionalidad inversa

Si dos cantidades son inversamente proporcionales, al aumentar una, la otra disminuye en la misma proporción. La constante se calcula como producto:

$ab = k$

Ejercicio 6

Tabla y gráfica

Siempre conviene organizar los datos en una tabla:

Términos $a$
Términos $b$

Los datos de la tabla se representan como puntos $A(a,b)$ y $B(c,d)$ . Al unir varios puntos:

Si la relación es de proporcionalidad directa, se forma una recta.
Si es de proporcionalidad inversa, se forma una hipérbola.

Respuesta orientativa: La página enseña a distinguir razón, proporción y los dos tipos de proporcionalidad, y a representarlas en tablas y en el plano cartesiano.

Contenido de la página

Para graficar un punto en el plano cartesiano, se utilizan sus coordenadas en los ejes $x$ y $y$ ; se debe prestar atención al signo: los números negativos en $x$ siempre van a la izquierda y los positivos a la derecha; en el eje $y$ , los positivos hacia arriba y los negativos hacia abajo. Una vez colocados todos los puntos, se unen mediante una línea.

Si la relación es proporcional, la gráfica que se forma es una recta; pero si es de proporcionalidad inversa, forma una curva que tiende a acercarse a los ejes cartesianos. Esta curva abierta representa una parte de una hipérbola.

Una razón es la comparación de dos cantidades relacionadas por una constante:

$\frac{a \rightarrow \text{antecedente}}{b \rightarrow \text{consecuente}} = k \rightarrow \text{cociente}$

Se lee " $a$ es a $b$ ".

Una proporción es la comparación de dos razones:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$

Se lee " $a$ es a $b$ como $c$ es a $d$ ".

Si son proporcionales, los términos de las razones incrementarán o decrecerán en la misma razón:

$\frac{a}{b} = k$

Si son de proporcionalidad inversa, la constante $k$ se calcula como un producto. Si incrementan los valores de un conjunto de datos, disminuirán los del otro en la misma proporción:

$ab = k$

Siempre es conveniente representar la información en una tabla.

Términos $a$
Términos $b$

Los datos de una tabla se pueden representar como puntos en el plano cartesiano; $A(a,b)$ y $B(c,d)$ . La unión de varios puntos forma una gráfica: será una recta si es una relación de proporcionalidad o una hipérbola si es una relación de proporcionalidad inversa.

Tabla

Términos $a$
Términos $b$

Diagrama

graph LR
  A[Relación entre cantidades] --> B[Proporcionalidad directa]
  A --> C[Proporcionalidad inversa]
  B --> D[\frac{a}{b}=k]
  B --> E[Gráfica: recta]
  C --> F[ab=k]
  C --> G[Gráfica: hipérbola]

Fórmulas y ecuaciones

$\frac{a}{b}$ =k

$\frac{a}{b}$ = $\frac{c}{d}$ =k

ab=k

$\frac{a}{b}$ =k

$\frac{a}{b}$ = $\frac{c}{d}$ =k

ab=k

Glosario (6)

Razón: Comparación de dos cantidades mediante un cociente.
Proporción: Igualdad entre dos razones.
Antecedente: Primer término de una razón, ubicado en el numerador.
Consecuente: Segundo término de una razón, ubicado en el denominador.
Constante de proporcionalidad: Valor $k$ que relaciona dos cantidades proporcionales.
Hipérbola: Curva abierta que representa una relación de proporcionalidad inversa.

Preguntas para practicar

¿Por qué la gráfica de una proporcionalidad inversa es una hipérbola y no una recta?

Porque al aumentar una cantidad, la otra disminuye de forma que su producto $ab=k$ permanece constante. Esa relación produce una curva que se acerca a los ejes sin tocarlos, llamada hipérbola.

Temas y conceptos clave

Graficación en el plano cartesianoRazónProporciónProporcionalidad directaProporcionalidad inversaTablas y gráficasAntecedenteConsecuenteCocienteConstante de proporcionalidadHipérbolaRecta

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se diferencia una proporción directa de una inversa?

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¿Qué gráfica se forma en una proporcionalidad inversa?

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¿Cómo se calcula la constante de proporcionalidad?

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📌 Antes de leer esto

• Operaciones básicas con números enteros
• Ubicación de puntos en el plano cartesiano
• Concepto de variable

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Resolución de problemas de proporcionalidad directa e inversa

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1769 caracteres

Para graficar un punto en el plano cartesiano, se utilizan sus coordenadas en los ejes x y y; se debe prestar atención al signo: los números negativos en x siempre van a la izquierda y los positivos a la derecha; en el eje y, los positivos hacia arriba y los negativos hacia abajo. Una vez colocados todos los puntos, se unen mediante una linea.

Una razón es la comparación de dos cantidades relacionadas por una constante:

$\frac{a\rightarrow\text{anothercendente}}{b\rightarrow\text{conseCuente}}=k\rightarrow\text{coincente}$

Se lee $\text{"}a$ es $a b^{n}$

Una proporción es la comparación de dos razones:

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k u$

Se lee $\text{"}a$ esab comoc es a $d^{\prime\prime}$

Si son proporcionales, los términos de las razones incrementarán o decrecerán en la misma razón:

$\frac{a}{b}=k$

Si son de proporcionalidad inversa, la constante k se calcula como un producto. Si incrementan los valores de un conjunto de datos, disminuirán los del otro en la misma proporción:

$ab=k$

Siempre es conveniente representar la información en una tabla.

Los datos de una tabla se pueden representar como puntos en el plano cartesiano; $A(a,b)yB(c,d)$ 1. La unión de varios puntos forma una gráfica: será una recta si es una relación de proporcionalidad o una hipérbola si es una relación de proporcionalidad inversa.

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