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Trazo de rectas notables en triángulos: mediatrices y circuncentro

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Respuesta rápida

Las mediatrices son perpendiculares por los puntos medios de los lados. Su intersección es el circuncentro, centro de la circunferencia circunscrita, equidistante de los tres vértices.

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 172

Colección Ximhai. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 1° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Explicación teórica

Rectas notables: son rectas especiales que se trazan en un triángulo y cuya intersección determina puntos notables.

Mediatriz: recta perpendicular a un lado que pasa por su punto medio. En un triángulo hay tres mediatrices, una por cada lado.

Circuncentro ( $C$ ): punto de intersección de las tres mediatrices. Propiedades:

Equidista de los tres vértices: $CX = CY = CZ$ .
Es el centro de la circunferencia circunscrita (la que pasa por los tres vértices).
Puede ubicarse dentro, fuera o sobre un lado del triángulo.

Paso 1

Trazar las mediatrices $l$ , $m$ y $n$ del triángulo $XYZ$ .

Para cada lado se ubica su punto medio y se traza la perpendicular.

Respuesta orientativa: se obtienen tres rectas perpendiculares a los lados por sus puntos medios.

Paso 2

Localizar el circuncentro $C$ como intersección de $l$ , $m$ y $n$ .

$l \cap m \cap n = \{C\}$

Respuesta orientativa: las tres mediatrices concurren en un único punto $C$ .

Paso 3

Trazar la circunferencia circunscrita con centro $C$ y radio $CX = CY = CZ$ .

$r = CX = CY = CZ$

Respuesta orientativa: la circunferencia pasa exactamente por los tres vértices del triángulo.

Observación

El circuncentro puede estar dentro del triángulo (acutángulo), fuera (obtusángulo) o sobre un lado (rectángulo, en el punto medio de la hipotenusa).

Contenido de la página

Trazo de rectas notables en triángulos

Existen rectas especiales que se pueden trazar en un triángulo y que ayudan a localizar puntos notables del mismo, como el centro de gravedad. Trazar cuatro diferentes tipos de rectas especiales para que su intersección permita la localización de los puntos notables es un conocimiento imprescindible para comprender las propiedades de los triángulos.

Las mediatrices de un triángulo son las rectas perpendiculares que pasan por el punto medio de cada uno de sus lados.

Al trazar las mediatrices de un triángulo, en su intersección se obtiene un punto notable que se denomina circuncentro. Este punto es la intersección de las tres mediatrices. El circuncentro está ubicado a la misma distancia de los tres vértices del triángulo y es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, es decir, la circunferencia que toca los tres vértices del triángulo.

A continuación, se muestra cómo trazar la circunferencia circunscrita de un triángulo.

Trazar las mediatrices $l$ , $m$ y $n$ del triángulo.
Localizar el circuncentro $C$ , que es el punto de intersección de las mediatrices.
A partir del circuncentro $C$ trazar la circunferencia circunscrita con radio $CX$ , $CY$ o $CZ$ .

El circuncentro puede estar dentro o fuera del triángulo, o también sobre uno de sus lados, como en el ejemplo anterior.

Ejemplos resueltos

Trazar la circunferencia circunscrita de un triángulo $XYZ$ .

Se trazan las mediatrices $l$ , $m$ y $n$ de los lados $XY$ , $YZ$ y $ZX$ respectivamente.
Se localiza el circuncentro $C = l \cap m \cap n$ .
Con centro en $C$ y radio $CX = CY = CZ$ se traza la circunferencia, que pasa por $X$ , $Y$ y $Z$ .

Tabla

Elemento	Definición	Propiedad
Mediatriz	Recta perpendicular al lado por su punto medio	Equidista de los extremos del lado
Circuncentro	Intersección de las tres mediatrices	Centro de la circunferencia circunscrita; $CX=CY=CZ$

Diagrama

flowchart TD
  A[Triángulo XYZ] --> B[Trazo de mediatrices l, m, n]
  B --> C[Intersección: circuncentro C]
  C --> D[Circunferencia circunscrita con radio CX=CY=CZ]

Fórmulas y ecuaciones

CX = CY = CZ

l $\cap$ m $\cap$ n = {C}

Glosario (4)

Mediatriz: Recta perpendicular a un segmento que pasa por su punto medio.
Circuncentro: Punto de intersección de las tres mediatrices de un triángulo; centro de la circunferencia circunscrita.
Circunferencia circunscrita: Circunferencia que pasa por los tres vértices de un triángulo.
Punto notable: Punto de intersección de un tipo de rectas notables del triángulo.

Preguntas para practicar

¿Por qué el circuncentro equidista de los tres vértices?

Porque cada mediatriz es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos del lado correspondiente. Al pertenecer a las tres mediatrices, el circuncentro equidista de los tres pares de vértices, es decir, $CX = CY = CZ$.

Temas y conceptos clave

Rectas notables del triánguloMediatricesCircuncentroCircunferencia circunscritaMediatrizCircuncentroCircunferencia circunscritaPunto notableEquidistancia

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Figuras de la página (3)

Triángulo con mediatrices trazadas y circunferencia circunscrita punteada. — Figura 1 image

Triángulo con las tres mediatrices y el circuncentro C marcado en su intersección. — Figura 2 image

Triángulo con circunferencia circunscrita trazada con centro en C y radio hasta los vértices. — Figura 3 image

Preguntas que la gente también hace

¿Qué es el circuncentro y cómo se localiza?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cuál es la diferencia entre mediatriz y mediana?

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¿Dónde puede estar ubicado el circuncentro de un triángulo?

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📌 Antes de leer esto

• Concepto de triángulo y sus elementos
• Punto medio de un segmento
• Rectas perpendiculares
• Trazo con regla y compás

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Incentro, baricentro y ortocentro: otras rectas y puntos notables del triángulo

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Trazo de rectas notables en triángulos

Las mediatrices de un triángulo son las rectas perpendiculares que pasan por el punto medio de cada uno de sus lados.

Al trazar las mediatrices de un triángulo, en su intersección se obtiene un punto notable que se denomina circuncentro. Este punto es la intersección de las tres mediatrices. El circuncentro está ubicado a la misma distancia de los tres vértices del triángulo y es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, es decir, la circunferencia que toca los tres vértices del triángulo.

A continuación, se muestra cómo trazar la circunferencia circunscrita de un triángulo.

Trazar las mediatrices l, m y n del triángulo.
A partir del circuncentro C trazar la circunferencia circunscrita con radio CX, CYo CZ.
Localizar el circuncentro C, que es el punto de intersección de las mediatrices.

El circuncentro puede estar dentro o fuera del triángulo, o también sobre uno de sus lados, como en el ejemplo anterior.

紫

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