Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 1 EGB

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Construcción de la recta tangente a una circunferencia por un punto de ella

📄 teoria matematica 🎓 secundaria · 1° Secundaria México 🇲🇽 MX 🗣 Español

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Respuesta rápida

La recta $t$ que pasa por $X$ y $Y$ es tangente a $c$ en $A$ y $t \perp OA$ . Radio, diámetro y cuerda son segmentos; tangente y secante son rectas.

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 27

Colección Ximhai. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 1° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Paso 1

Prolongar el radio $OA$ hacia el exterior de la circunferencia, es decir, reflejar $O$ con respecto de $A$ sobre la prolongación del radio. Nombrar al reflejo de $O$ como $O'$ .

Se traza el radio $OA$ de la circunferencia $c$ .
Se prolonga el segmento $OA$ más allá de $A$ .
Con el compás, con centro en $A$ y abertura $AO$ , se marca el punto $O'$ sobre la prolongación, de modo que $AO = AO'$ .

Respuesta orientativa: Se obtiene el punto $O'$ simétrico de $O$ respecto de $A$ , con $AO = AO'$ .

Paso 2

Con centro $O$ y $O'$ trazar semicircunferencias de la misma abertura que se intersecten. Nombrar $X$ y $Y$ a los puntos donde éstas se intersectaron.

Con centro en $O$ y abertura mayor que $OA$ se traza un arco.
Con centro en $O'$ y la misma abertura se traza otro arco que corte al anterior.
Los puntos de corte son $X$ (arriba) y $Y$ (abajo).

Respuesta orientativa: Los arcos se intersecan en dos puntos $X$ y $Y$ que equidistan de $O$ y de $O'$ .

Paso 3

Trazar una recta que pase por los puntos $X$ y $Y$ para obtener la recta tangente $t$ a la circunferencia $c$ que pasa por el punto $A$ .

Se une $X$ con $Y$ mediante una recta.
La recta $XY$ pasa por $A$ y es perpendicular al radio $OA$ .
Por ser perpendicular al radio en su punto de contacto, $XY$ es la tangente $t$ a $c$ en $A$ .

Respuesta: La recta $t = XY$ es tangente a la circunferencia $c$ en el punto $A$ , y cumple $t \perp OA$ .

Definiciones de la página

Radio: segmento que une el centro con un punto de la circunferencia; la toca en un punto.
Diámetro: segmento que pasa por el centro y une dos puntos de la circunferencia.
Cuerda: segmento que une dos puntos de la circunferencia.
Tangente: recta que tiene contacto con la circunferencia en un solo punto.
Secante: recta que corta a la circunferencia en dos puntos.

Contenido de la página

Prolongar el radio $OA$ hacia el exterior de la circunferencia, es decir, reflejar $O$ con respecto de $A$ sobre la prolongación del radio. Nombrar al reflejo de $O$ como $O'$ .
Con centro $O$ y $O'$ trazar semicircunferencias de la misma abertura que se intersecten. Nombrar $X$ y $Y$ a los puntos donde éstas se intersectaron.
Trazar una recta que pase por los puntos $X$ y $Y$ para obtener la recta tangente $t$ a la circunferencia $c$ que pasa por el punto $A$ .

El radio, el diámetro y la cuerda son segmentos que se encuentran dentro de una circunferencia, el primer segmento la toca en un punto y los otros en dos puntos, mientras que la tangente y la secante son rectas que tienen contacto con la circunferencia en uno o dos puntos, respectivamente.

Identificar y construir segmentos y rectas notables en una circunferencia permite conocer las características y propiedades de éstas, para que dichas construcciones sirvan de apoyo en la resolución de problemas modelados a través de ellas. Por ejemplo, para conocer el punto donde tocará a la Tierra un asteroide que se desplaza en el espacio.

Ejemplos resueltos

Dada una circunferencia $c$ de centro $O$ y un punto $A$ sobre ella, construir la recta tangente en $A$ .

Trazar el radio $OA$ y prolongarlo.
Con centro en $A$ y abertura $AO$ , marcar $O'$ sobre la prolongación, con $AO = AO'$ .
Con centros $O$ y $O'$ y la misma abertura, trazar arcos que se corten en $X$ y $Y$ .
Unir $X$ con $Y$ : la recta $XY$ es la tangente $t$ en $A$ , pues $XY \perp OA$ .

Tabla

Elemento	Tipo	Puntos de contacto con la circunferencia
Radio	Segmento	1
Diámetro	Segmento	2
Cuerda	Segmento	2
Tangente	Recta	1
Secante	Recta	2

Diagrama

flowchart TD
  A[Circunferencia c con centro O y punto A] --> B[Paso 1: prolongar OA y marcar O' con AO = AO']
  B --> C[Paso 2: arcos con centros O y O' que se cortan en X y Y]
  C --> D[Paso 3: trazar la recta XY]
  D --> E[Recta tangente t en A, con t perpendicular a OA]

Fórmulas y ecuaciones

t $\perp$ OA $\text{ en el punto de tangencia }$ A

AO = AO'

t $\perp$ OA

XY $\perp$ OA

Glosario (6)

Radio: Segmento que une el centro de la circunferencia con un punto de ella.
Diámetro: Segmento que pasa por el centro y une dos puntos de la circunferencia; mide el doble del radio.
Cuerda: Segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.
Recta tangente: Recta que toca a la circunferencia en un solo punto, llamado punto de tangencia.
Recta secante: Recta que corta a la circunferencia en dos puntos.
Reflejo: Punto simétrico obtenido al trasladar una distancia igual al otro lado de un punto dado.

Preguntas para practicar

¿Por qué la recta obtenida es tangente y no secante?

Porque la recta $XY$ es perpendicular al radio $OA$ en el punto $A$, que pertenece a la circunferencia. Al ser perpendicular al radio en su extremo, solo toca a la circunferencia en ese punto, por lo que es tangente y no secante.

¿Para qué sirve identificar y construir segmentos y rectas notables en una circunferencia?

Permite conocer las propiedades geométricas de la circunferencia y usarlas como apoyo en la resolución de problemas modelados. Por ejemplo, ayuda a determinar el punto donde tocará a la Tierra un asteroide que se desplaza en el espacio, o a diseñar trayectorias y engranajes.

Temas y conceptos clave

CircunferenciaRectas y segmentos notablesConstrucción de la tangenteRadioDiámetroCuerdaTangenteSecantePerpendicularidad

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Figuras de la página (3)

Circunferencia c con centro O y punto A; se muestra la prolongación del radio OA hasta el punto O'. — Figura 1 image

Dos arcos trazados con centros O y O' que se intersecan en los puntos X (arriba) y Y (abajo). — Figura 2 image

Recta t que pasa por X y Y, tangente a la circunferencia c en el punto A, perpendicular al radio OA. — Figura 3 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo trazar la tangente a una circunferencia por un punto de ella?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cuál es la diferencia entre cuerda, secante y tangente?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Por qué la tangente es perpendicular al radio en el punto de contacto?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Uso de regla y compás
• Concepto de circunferencia, centro y radio
• Perpendicularidad y punto medio

Siguiente tema sugerido

Construcción de tangentes desde un punto exterior a la circunferencia

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1106 caracteres

Prolongar el radio OA hacia el exterior de la circunferencia, es decir, reflejar O con respecto de A sobre la prolongación del radio. Nombrar al reflejo de O como O

2.Con centro Oy O' trazar semicircunferencias de la misma abertura que se intersecten. Nombrar X y Ya los puntos donde éstas se intersectaron.

que pasa por el punto A.

El radio, el diámetro y la cuerda son segmentos que se encuentran dentro de una circunferencia, el primer segmento la toca en un punto y los otros en dos puntos, mientras que la tangente y la secante son rectas que tienen contacto con la circunferencia en uno o dos puntos, respectivamente.