Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 1 EGB

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Ángulos coterminales, radianes y suma de ángulos

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Respuesta rápida

Coterminales: difieren en múltiplos de $360^\circ$ . Positivo: antihorario; negativo: horario. $\frac{\pi}{2}=90^\circ$ , $2\pi=360^\circ$ . Triángulo: $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$ .

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 58

Colección Ximhai. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 1° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Concepto: ángulos coterminales

Dos ángulos son coterminales cuando, dibujados en el mismo plano cartesiano, sus lados finales coinciden aunque sus magnitudes difieran en múltiplos de $360^\circ$ .

Se parte de un ángulo $\theta$ en posición estándar.
Se suma o resta $360^\circ$ : $\theta + 360^\circ$ y $\theta - 360^\circ$ .
Los tres lados terminales caen en el mismo punto del plano.

Respuesta orientativa: $\theta$ , $\theta+360^\circ$ y $\theta-360^\circ$ son coterminales porque comparten lado final.

Concepto: sentido de rotación

Giro en contra de las manecillas del reloj → ángulo positivo.
Giro a favor de las manecillas del reloj → ángulo negativo.
Un giro completo mide $360^\circ$ ; cada giro extra suma otros $360^\circ$ .

Respuesta orientativa: el signo del ángulo depende del sentido del giro, no de su posición final.

Concepto: radianes

En radianes las unidades son fracciones de $\pi$ .
$\frac{\pi}{2} = 90^\circ$ .
Una vuelta completa: $2\pi = 360^\circ$ .

Equivalencias de las figuras:

$\frac{\pi}{2}=90^\circ,\quad -\frac{\pi}{2}=-90^\circ,\quad \pi=180^\circ,\quad 3\pi=540^\circ$

Respuesta orientativa: $\frac{\pi}{2}$ rad equivale a $90^\circ$ y $2\pi$ rad a una vuelta completa.

Concepto: polígonos y suma de ángulos

La unión de puntos forma polígonos; con seis vértices se llama hexágono.
Un hexágono tiene seis ángulos interiores, adyacentes u opuestos.
La suma de los ángulos internos de un triángulo es $180^\circ$ .

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Respuesta orientativa: conociendo dos ángulos de un triángulo, el tercero se obtiene restando de $180^\circ$ la suma de los otros dos.

Contenido de la página

Si se representan ambos ángulos en el mismo plano cartesiano, sus lados terminan en el mismo punto y coinciden sus lados en el eje $y$ , pero con una magnitud de $-270^\circ$ y $90^\circ$ a razón del sentido de rotación; en este caso se dice que son ángulos coterminales.

Para distinguir un ángulo del cual no se conoce su magnitud se utiliza la letra griega theta ( $\theta$ ), tal como se muestra a continuación para los ángulos $\theta$ , $\theta+360^\circ$ y $\theta-360^\circ$ .

Por lo general, es recomendable observar la rotación de los lados de un ángulo, ya que pueden terminar en el mismo lugar, pero tener diferente magnitud con base en el sentido en el que giran: si es en contra de las manecillas del reloj, es positiva; si es a favor, es negativa. Si una recta da un giro completo, su magnitud es de $360^\circ$ ; por cada giro extra se agregan otros $360^\circ$ .

Existen otras notaciones para medir un ángulo, como es el caso de los radianes, en los que las unidades son fracciones del número $\pi$ . En este caso $\frac{\pi}{2}$ equivale a $90^\circ$ ; por lo tanto, una vuelta completa se representa por $2\pi$ . En las siguientes figuras se muestran algunas representaciones de ángulos en radianes.

La construcción de figuras básicas planas parte de la unión de un conjunto de puntos; las rectas que los unen forman polígonos, donde el número de lados que se pueden formar depende de la cantidad de puntos. Con seis vértices se llama hexágono; por lo tanto, contiene seis ángulos en su interior, los cuales pueden ser adyacentes u opuestos.

Los ángulos también se suman, lo que es de gran utilidad para determinar la magnitud de los demás. Por ejemplo, se sabe que la suma de los ángulos internos de un triángulo es de $180^\circ$ ; por lo cual, sólo es necesario conocer dos de ellos para saber la magnitud del tercero.

Ejemplos resueltos

Verifica que $90^\circ$ y $-270^\circ$ son coterminales.

Restamos $360^\circ$ a $90^\circ$ : $90^\circ - 360^\circ = -270^\circ$ .
Ambos lados finales coinciden en el eje $y$ positivo. Respuesta: son coterminales.

Convierte $\frac{\pi}{2}$ rad a grados.

Usamos $\pi = 180^\circ$ .
$\frac{\pi}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$ . Respuesta: $90^\circ$ .

Tabla

Grados	Radianes
90°	π/2
-90°	-π/2
180°	π
360°	2π
540°	3π

Diagrama

timeline
    title Ángulos en radianes
    90° : π/2
    -90° : -π/2
    180° : π
    540° : 3π

Fórmulas y ecuaciones

$\theta$ + $360^\circ$ $\quad$ $\text{y}$ $\quad$ $\theta$ - $360^\circ$

$2\pi$ = $360^\circ$

$\alpha$ + $\beta$ + $\gamma$ = $180^\circ$

$\theta$ + $360^\circ$

$\theta$ - $360^\circ$

$\frac{\pi}{2}$ = $90^\circ$

$2\pi$ = $360^\circ$

$\alpha$ + $\beta$ + $\gamma$ = $180^\circ$

Glosario (4)

Ángulo coterminal: Ángulo que comparte el mismo lado final con otro, diferenciándose en múltiplos de 360°.
Radián: Unidad de medida angular basada en fracciones de π; π rad = 180°.
Hexágono: Polígono de seis lados y seis vértices.
Ángulo adyacente: Ángulo que comparte un lado y un vértice con otro.

Preguntas para practicar

¿Por qué dos ángulos coterminales pueden tener signos distintos?

Porque el signo depende del sentido de rotación: si el giro es antihorario el ángulo es positivo y si es horario es negativo. Aunque el lado final coincida, el recorrido es distinto, por lo que las magnitudes difieren en múltiplos de 360°.

¿Cómo se obtiene el tercer ángulo de un triángulo si se conocen dos?

Se suman los dos ángulos conocidos y el resultado se resta de 180°, pues la suma de los ángulos internos de todo triángulo es 180°. Así, si α + β = 120°, entonces γ = 60°.

Temas y conceptos clave

Ángulos coterminalesSentido de rotaciónRadianesPolígonos y suma de ángulosÁngulo coterminalGiro positivo y negativoRadiánHexágonoSuma de ángulos internos

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Figuras de la página (2)

Plano cartesiano con tres ángulos coterminales: θ, θ+360° y θ−360°, todos con el mismo lado final. — Figura 1 image

Cuatro planos cartesianos con ángulos en radianes: π/2, −π/2, π y 3π. — Figura 2 image

Preguntas que la gente también hace

¿Qué son los ángulos coterminales y cómo se calculan?

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¿Cómo convertir grados a radianes y radianes a grados?

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¿Cuánto suman los ángulos internos de un triángulo y de un hexágono?

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📌 Antes de leer esto

• Ángulos y su medición en grados
• Plano cartesiano
• Número π

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Conversión entre grados y radianes y ángulos de referencia

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1882 caracteres

Si se representan ambos ángulos en el mismo plano cartesiano, sus lados terminan en el mismo punto y coinciden sus lados en el eje y, pero con una magnitud $\mathrm{de}-270^{\circ}y$ 90° a razón del sentido de rotación, en este caso se dice que son dngulos coterminales.

Para distinguir un ángulo del cual no se conoce su magnitud se utiliza la letra griega theta (0), tal como se muestra a continuación para los ángulos $\theta,\theta+360^{\circ}\mathrm{~y}\theta-360^{\circ}$

Existen otras notaciones para medir un ángulo, como es el caso de los radianes, en los que las unidades son fracciones del número π. En este caso $\frac{\pi}{2}$ equivale a 90°,por lo tanto, una vuelta completa se representa por 2π. En las siguientes figuras se muestran algunas representaciones de ángulos en radianes.

La construcción de figuras básicas planas parte de la unión de un conjunto de puntos;las rectas que los unen forman poligonos, donde el número de lados que se pueden formar depende de la cantidad de puntos, con seis vértices se llama hexágono, por lo tanto, contiene seis ángulos en su interior, los cuales pueden ser adyacentes u opuestos.

Los ángulos también se suman, lo que es de gran utilidad para determinar la magnitud de los demás, por ejemplo, se sabe que la suma de los ángulos internos de un triángulo es de 180°, por lo cual, sólo es necesario conocer dos de ellos para saber la magnitud del tercero.

茶

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