Construcción de triángulos: dos lados y ángulo, y un lado y dos ángulos
Respuesta rápida
Triángulo FDG con \alpha=45^\circ (criterio LAL). Triángulo ABC con \alpha=30^\circ, \beta=60^\circ y tercer ángulo 90^\circ (criterio ALA). Triángulo equilátero EFG.
Solución — Página 61
Colección Ximhai. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 1° Ciclo Escolar 2025 - 2026
Paso 1
Construcción de un triángulo conocidos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
- Se construye el ángulo con la medida indicada, en este caso \alpha = 45^\circ, con vértice en F.
- Sobre cada lado del ángulo se prolonga la medida de los lados dados: \overline{FD} y \overline{FG}.
- Se unen los extremos de los lados prolongados, es decir, los puntos D y G, para obtener el triángulo FDG.
Respuesta orientativa: El triángulo queda determinado de forma única porque dos lados y el ángulo comprendido fijan la posición de los tres vértices (criterio LAL).
Paso 2
Construcción de un triángulo conocidos un lado y los dos ángulos contiguos.
- Sobre el lado conocido \overline{AB} se trazan los ángulos \alpha y \beta, uno en cada extremo: \alpha = 30^\circ en A y \beta = 60^\circ en B.
- Se extienden los lados de los ángulos hasta que se corten en el punto C.
Respuesta orientativa: El punto de corte C cierra el triángulo ABC; como la suma de los ángulos interiores es 180^\circ, el tercer ángulo mide 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ.
Paso 3
Trazado con regla y compás del triángulo equilátero de la parte superior.
- Se trazan dos arcos con el mismo radio desde E y desde F.
- Se llama G al punto de intersección de los arcos.
- Se trazan los segmentos \overline{EG} y \overline{FG} para formar el triángulo EFG.
Respuesta orientativa: Como \overline{EG} = \overline{FG} = \overline{EF}, el triángulo EFG es equilátero y sus tres ángulos miden 60^\circ.
Contenido de la página
- Llamar G al punto de intersección de los arcos. Trazar los segmentos EG y FG para formar el triángulo EFG.
De la siguiente manera se puede construir un triángulo, si se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
- Construir el ángulo con la medida indicada.
- Prolongar los lados del ángulo a la medida de los lados.
- Unir los extremos de los lados prolongados.
También es posible construir un triángulo conocidos un lado y los dos ángulos contiguos. Enseguida se muestra el procedimiento.
- Sobre el lado conocido \overline{AB} se trazan los ángulos \alpha y \beta, uno en cada extremo.
- Se extienden los lados de los ángulos hasta que se corten en el punto C.
Ejemplos resueltos
Construir un triángulo con dos lados \overline{FD} y \overline{FG} y el ángulo comprendido \alpha = 45^\circ.
- Se traza el ángulo de 45^\circ con vértice en F.
- Sobre cada lado del ángulo se marca la longitud de los lados dados.
- Se unen los extremos D y G. Resultado: triángulo FDG.
Construir un triángulo con el lado \overline{AB} y los ángulos contiguos \alpha = 30^\circ y \beta = 60^\circ.
- Sobre \overline{AB} se traza \alpha = 30^\circ en A y \beta = 60^\circ en B.
- Se prolongan los lados de ambos ángulos hasta cortarse en C.
- El tercer ángulo mide 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ. Resultado: triángulo rectángulo ABC.
Tabla
| Datos conocidos | Procedimiento | Criterio |
|---|---|---|
| Dos lados y el ángulo comprendido | Trazar el ángulo, prolongar los lados y unir extremos | LAL |
| Un lado y dos ángulos contiguos | Trazar los ángulos en los extremos del lado y unir el corte | ALA |
| Tres lados | Trazar arcos con el compás desde cada extremo | LLL |
Diagrama
flowchart TD
A[Construir un triangulo] --> B{Que datos se conocen}
B -->|Dos lados y el angulo comprendido| C[Criterio LAL]
B -->|Un lado y dos angulos contiguos| D[Criterio ALA]
B -->|Tres lados| E[Criterio LLL]
C --> F[Trazar el angulo y prolongar los lados]
D --> G[Trazar los angulos en los extremos del lado]
E --> H[Trazar arcos con el compas]
Fórmulas y ecuaciones
\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ
\alpha = 45^\circ
\alpha = 30^\circ
\beta = 60^\circ
180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ
Glosario (5)
- Ángulo comprendido
- Ángulo formado por dos lados de un triángulo que comparten un vértice común.
- Ángulos contiguos
- Ángulos que tienen un lado en común y están situados uno a continuación del otro; en un triángulo, los dos ángulos adyacentes a un mismo lado.
- Arco
- Porción de una circunferencia; se usa con el compás para localizar puntos a una distancia fija.
- Criterio LAL
- Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo comprendido respectivamente iguales.
- Criterio ALA
- Dos triángulos son congruentes si tienen un lado y los dos ángulos contiguos a él respectivamente iguales.
Preguntas para practicar
¿Por qué con dos lados y el ángulo comprendido se obtiene un triángulo único?
Porque al fijar el ángulo y las longitudes de sus dos lados, los tres vértices quedan determinados: el tercer lado se obtiene al unir los extremos. No hay otra posición posible para el triángulo, salvo su reflejo, que es congruente.
¿Qué ocurre si los dos ángulos contiguos suman $180^\circ$ o más?
Los lados de los ángulos no se cortarían y no se formaría ningún triángulo, porque la suma de los ángulos interiores debe ser exactamente $180^\circ$ y cada ángulo debe ser mayor que $0^\circ$.
Temas y conceptos clave
Figuras de la página (3)
Preguntas que la gente también hace
¿Cómo construir un triángulo con dos lados y el ángulo entre ellos?
¿Qué criterios de congruencia permiten construir un triángulo único?
¿Cómo se traza un triángulo equilátero con regla y compás?
- • Medición y trazado de ángulos con transportador
- • Uso de regla y compás
- • Concepto de segmento y de triángulo
- • Suma de los ángulos interiores de un triángulo
📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 723 caracteres
- Llamar G al punto de intersección de los arcos. Trazar los segmentos EG y FG para formar el triángulo EFG.
De la siguiente manera se puede construir un triángulo, si se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
- Construir el ángulo con la medida indicada.
- Prolongar los lados del ángulo a la medida de los lados.
- Unir los extremos de los lados prolongados.
También es posible construir un triángulo conocidos un lado y los dos ángulos contiguos. Enseguida se muestra el procedimiento.
1. Sobre el lado conocido \overline{AB} se trazan los
\beta=60^{\circ}
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