Media aritmética para datos agrupados y la mediana
Respuesta rápida
Estatura promedio: 171.97 \, \text{cm}. Mediana: valor central de los datos ordenados; si son pares, media de los dos centrales.
Solución — Página 93
Colección Ximhai. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 1° Ciclo Escolar 2025 - 2026
Ejemplo 2: estatura promedio de los pacientes
En un hospital se midió la estatura (cm) de 603 pacientes y se agruparon los datos en intervalos de clase. Se pide calcular la estatura promedio.
- Identificamos los datos de la tabla: marca de clase X_i, frecuencia absoluta f_i y su producto X_i f_i.
| Rango (cm) | X_i | f_i | X_i f_i |
|---|---|---|---|
| [159-165] | 162 | 150 | 24\,300 |
| [166-172] | 169 | 167 | 28\,223 |
| [173-179] | 176 | 166 | 29\,216 |
| [180-186] | 183 | 120 | 21\,960 |
| Total | 603 | **103\,699** |
Sumamos las frecuencias absolutas: \Sigma f_i = 150 + 167 + 166 + 120 = 603
Sumamos los productos X_i f_i: \Sigma X_i f_i = 24\,300 + 28\,223 + 29\,216 + 21\,960 = 103\,699
Sustituimos en la fórmula de la media para datos agrupados: N = \frac{\Sigma X_i f_i}{\Sigma f_i} = \frac{103\,699}{603} = 171.97
Respuesta: La estatura promedio de los pacientes es de 171.97 \, \text{cm}.
Interpretación
La clase menor tiene marca de clase 162 \, \text{cm} y la mayor 183 \, \text{cm}; como la mayoría de los datos se concentra cerca del promedio, se dice que es un promedio confiable.
La mediana
La mediana Me (o \tilde{x}) es el valor central de un conjunto de datos cuantitativos ordenados: a su izquierda y a su derecha queda la misma cantidad de datos.
- Si el número de datos es impar, la mediana es el dato que ocupa la posición central.
- Si el número de datos es par, la mediana es la media de los dos datos centrales.
Respuesta orientativa: Para 603 datos (impar), la mediana sería el dato en la posición \frac{603+1}{2} = 302; para un número par de datos, se promedian los dos valores centrales.
Contenido de la página
Ejemplo 2
En un hospital se midió la estatura de los pacientes para un control rutinario. La medida está en centímetros. Los datos se resumieron en la siguiente tabla, en la que además se incluye la columna del producto de la clase por la frecuencia.
Estatura
| Rango (cm) | X_i | f_i | X_i f_i |
|---|---|---|---|
| [159-165] | 162 | 150 | 24\,300 |
| [166-172] | 169 | 167 | 28\,223 |
| [173-179] | 176 | 166 | 29\,216 |
| [180-186] | 183 | 120 | 21\,960 |
| Total | 603 | **103\,699** |
La estatura promedio de los pacientes se calcula de la siguiente manera:
N = \frac{\Sigma X_i f_i}{\Sigma f_i} = \frac{24\,300 + 28\,223 + 29\,216 + 21\,960}{150 + 167 + 166 + 120} = \frac{103\,699}{603} = 171.97
Por tanto, la estatura promedio de los pacientes es de 171.97 \, \text{cm}. Como se muestra, la clase menor tiene como valor promedio 162 \, \text{cm} y la clase mayor 183 \, \text{cm}; así, se puede observar que la mayoría de los datos están concentrados cerca del promedio. Cuando esto sucede se habla de un promedio confiable.
La mediana
La mediana se define como el valor medio de un conjunto de datos cuantitativos ordenados, es decir, es el dato que a su izquierda y a su derecha tiene la misma cantidad de datos. Cuando el conjunto tiene una cantidad impar de datos, la mediana es el dato de en medio del conjunto. Pero, si el número de datos es par, la mediana es la media de los dos datos centrales. La mediana se simboliza Me o \tilde{x}.
Ejemplos resueltos
En un hospital se midió la estatura de 603 pacientes y se agruparon en cuatro intervalos. Calcula la estatura promedio.
- Se identifican X_i, f_i y X_i f_i de la tabla.
- \Sigma f_i = 150 + 167 + 166 + 120 = 603.
- \Sigma X_i f_i = 24\,300 + 28\,223 + 29\,216 + 21\,960 = 103\,699.
- N = \frac{103\,699}{603} = 171.97.
Respuesta: 171.97 \, \text{cm}.
Tabla
| Rango (cm) | X_i | f_i | X_i f_i |
|---|---|---|---|
| [159-165] | 162 | 150 | 24\,300 |
| [166-172] | 169 | 167 | 28\,223 |
| [173-179] | 176 | 166 | 29\,216 |
| [180-186] | 183 | 120 | 21\,960 |
| Total | 603 | **103\,699** |
Fórmulas y ecuaciones
N = \frac{\Sigma X_i f_i}{\Sigma f_i}
N = \frac{\Sigma X_i f_i}{\Sigma f_i}
N = \frac{103\,699}{603} = 171.97
Me = \tilde{x}
Glosario (5)
- Marca de clase ($X_i$)
- Valor representativo de un intervalo; se obtiene como el punto medio entre el límite inferior y el superior.
- Frecuencia absoluta ($f_i$)
- Número de veces que se repite un dato o que cae dentro de un intervalo.
- Media aritmética ($N$)
- Cociente entre la suma de todos los datos (o de $X_i f_i$) y el número total de datos.
- Mediana ($Me$)
- Valor central de un conjunto de datos ordenados; divide al conjunto en dos partes iguales.
- Promedio confiable
- Promedio que representa bien al conjunto porque la mayoría de los datos se concentra cerca de él.
Preguntas para practicar
¿Por qué se dice que el promedio de 171.97 cm es confiable?
Porque la mayoría de los datos se concentra cerca del valor promedio: las marcas de clase van de 162 cm a 183 cm y el promedio queda prácticamente al centro del conjunto, lo que indica poca dispersión.
¿En qué se diferencian la media y la mediana?
La media usa todos los valores y puede verse afectada por datos extremos, mientras que la mediana solo depende de la posición central del conjunto ordenado, por lo que es más resistente a valores atípicos.
Temas y conceptos clave
Preguntas que la gente también hace
¿Cómo se calcula la media aritmética cuando los datos están agrupados en intervalos?
¿Cuál es la diferencia entre media, mediana y moda?
¿Cómo se halla la mediana cuando el número de datos es par?
- • Suma y división de números decimales
- • Interpretación de tablas de frecuencia
- • Ordenar datos de menor a mayor
📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1643 caracteres
Ejemplo2
En un hospital se midió la estatura de los pacientes para un control rutinario. La medida está en centímetros. Los datos se resumieron en la siguiente tabla, en la que además se incluye la columna del producto de la clase por la frecuencia.
La estatura promedio de los pacientes se calcula de la siguiente manera:
N=\frac{\Sigma X_{i}f_{i}}{\Sigma f_{i}}=\frac{24300+28223+29216+21960}{150+167+166+120}=\frac{103699}{603}=171.97
Por tanto, la estatura promedio de los pacientes es de 171.97 cm. Como se muestra, la clase menor tiene como valor promedio 162 cm y la clase mayor 183 cm; así, se puede observar que la mayoría de los datos están concentrados cerca del promedio. Cuando esto sucede se habla de un promedio confiable.
La mediana
La mediana se define como el valor medio de un conjunto de datos cuantitativos ordenados, es decir, es el dato que a su izquierda y a su derecha tiene la misma cantidad de datos. Cuando el conjunto tiene una cantidad impar de datos, la mediana es el dato de en medio del conjunto. Pero, si el número de datos es par,la mediana es la media de los dos datos centrales. La mediana se simboliza Me o x.
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| Rango (cm) | X_{i}f_{i} | \chi_{i} | fi |
| [159-165] | 162 | 150 | 24300 |
| [166-172] | 169 | 167 | 28223 |
| [173-179] | 176 | 166 | 29216 |
| [180-186] | 183 | 120 | 21960 |
| Total | 603 | 103699 | |
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