Calcula la altura y el área de un paralelogramo cuya base mide 21 cm y cuyo lado inclinado mide 15 cm formando un ángulo de 60^ con la base.

h ≈ 12.99 cm, A ≈ 272.79 cm^2

Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 3 EGB

SEP/CONALITEG

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Cálculo de la altura y el área de un paralelogramo con razones trigonométricas

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Respuesta rápida

Altura $\approx 12.99\,\text{cm}$ ; área $\approx 272.79\,\text{cm}^{2}$ .

matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 115

Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejercicio 1

Un paralelogramo tiene base $b = 21\,\text{cm}$ y lado inclinado (hipotenusa del triángulo rectángulo) de $15\,\text{cm}$ con un ángulo de $60^\circ$ . Hallar su altura y su área.

Al trazar la altura desde el vértice superior hasta la base se forma un triángulo rectángulo donde la hipotenusa mide $15\,\text{cm}$ , el ángulo conocido es $60^\circ$ y la altura $h$ es el cateto opuesto a ese ángulo.
La razón que relaciona cateto opuesto e hipotenusa es el seno:

$\operatorname{sen} 60^\circ = \frac{\text{Cateto Opuesto}}{\text{Hipotenusa}} = \frac{h}{15\,\text{cm}}$

Se sustituye el valor $\operatorname{sen} 60^\circ \approx 0.866$ :

$0.866 = \frac{h}{15}$

Se despeja $h$ multiplicando ambos lados por $15$ :

$h = 15 \times 0.866 = 12.99\,\text{cm}$

Con la altura calculada se obtiene el área del paralelogramo:

$A = b \times h = 21\,\text{cm} \times 12.99\,\text{cm}$

$A = 272.79\,\text{cm}^{2}$

Paso 1

Identificar datos conocidos y desconocidos.

Respuesta orientativa: Se conocen la hipotenusa ( $15\,\text{cm}$ ) y el ángulo ( $60^\circ$ ); se desconoce el cateto opuesto (altura).

Paso 2

Elegir la razón trigonométrica adecuada.

Respuesta orientativa: Como se relacionan el cateto opuesto y la hipotenusa, se usa el seno.

Paso 3

Consultar la tabla de valores y sustituir.

Respuesta orientativa: $\operatorname{sen} 60^\circ \approx 0.866$ ; al sustituir se obtiene $h = 15 \times 0.866 = 12.99\,\text{cm}$ .

Paso 4

Calcular el área con la altura obtenida.

Respuesta orientativa: $A = b \times h = 21 \times 12.99 = 272.79\,\text{cm}^{2}$ .

Respuesta

La altura es aproximadamente $12.99\,\text{cm}$ y el área es aproximadamente $272.79\,\text{cm}^{2}$ .

Contenido de la página

Si se traza la altura desde el vértice superior hasta la base del triángulo, se forma un triángulo rectángulo del que se conocen la hipotenusa y el ángulo de $60^\circ$ ; como la altura es el cateto opuesto, la razón trigonométrica que se utiliza es el seno del ángulo.

$\operatorname{sen} 60^\circ = \frac{\text{Cateto Opuesto}}{\text{Hipotenusa}} = \frac{\text{Altura}}{15\,\text{cm}}$

$\operatorname{sen} 60^\circ = \frac{x}{15}$

$(15)(0.866) = x$

$x = 12.99$

Por tanto, el paralelogramo tiene una altura aproximada de $12.99\,\text{cm}$ .

Con la medida de la altura del paralelogramo, se puede obtener su área como se presenta a continuación:

$\text{Área} = b \times h$

$A = 21\,\text{cm} \times 12.99\,\text{cm}$

$A = 272.79\,\text{cm}^{2}$

Entonces, el paralelogramo tiene un área aproximada de $272.79\,\text{cm}^{2}$ .

Las razones trigonométricas se pueden utilizar en la resolución de problemas que involucren un triángulo rectángulo, tanto para el cálculo de los ángulos como de los lados.

Para aplicar las razones trigonométricas en la resolución de problemas es necesario identificar los datos conocidos y los desconocidos. A partir de ahí se debe decidir cuál razón se debe utilizar. Por ejemplo, cuando se tiene la medida de un ángulo se consulta la tabla de valores para conocer el valor de la razón y relacionarla con la medida de uno de los lados para obtener el valor faltante. O a la inversa, a partir de la relación entre las medidas de los lados, se consultan las tablas de valores para obtener el valor de la razón y entonces conocer la medida del ángulo.

Ejemplos resueltos

Un paralelogramo tiene base de $21\,\text{cm}$ y un lado inclinado de $15\,\text{cm}$ que forma un ángulo de $60^\circ$ con la base. Calcula su altura y su área.

Se forma un triángulo rectángulo con hipotenusa $15\,\text{cm}$ y ángulo $60^\circ$ . La altura es el cateto opuesto:

$\operatorname{sen} 60^\circ = \frac{h}{15}$

$0.866 = \frac{h}{15} \Rightarrow h = 15 \times 0.866 = 12.99\,\text{cm}$

$A = b \times h = 21 \times 12.99 = 272.79\,\text{cm}^{2}$

Diagrama

graph TD
A[Triángulo rectángulo] --> B[Hipotenusa: 15 cm]
A --> C[Ángulo: 60°]
A --> D[Cateto opuesto: altura h]
D --> E[sen 60° = h/15]
E --> F[h = 12.99 cm]
F --> G[Área = 21 × 12.99 = 272.79 cm²]

Fórmulas y ecuaciones

$\operatorname{sen}$ $\theta$ = $\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}$

A = b $\times$ h

$\operatorname{sen}$ $60^\circ$ = $\frac{\text{Cateto Opuesto}}{\text{Hipotenusa}}$

$\operatorname{sen}$ $60^\circ$ = $\frac{x}{15}$

(15)(0.866) = x

x = 12.99

A = b $\times$ h

A = $21\$ , $\text{cm}$ $\times$ $12.99\$ , $\text{cm}$

A = $272.79\$ , $\text{cm}$ $^{2}$

Glosario (5)

Razón trigonométrica: Cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo que depende de uno de sus ángulos agudos.
Seno: Razón entre el cateto opuesto a un ángulo y la hipotenusa.
Cateto opuesto: Lado del triángulo rectángulo que se encuentra frente al ángulo considerado.
Hipotenusa: Lado de mayor longitud en un triángulo rectángulo, opuesto al ángulo recto.
Paralelogramo: Cuadrilátero con lados opuestos paralelos e iguales.

Preguntas para practicar

¿Por qué se utiliza la razón seno y no otra en este problema?

Porque se conocen la hipotenusa y el ángulo, y se busca el cateto opuesto; el seno es la única razón que relaciona directamente el cateto opuesto con la hipotenusa.

¿Cómo se decide qué razón trigonométrica usar en un problema?

Se identifican los datos conocidos y el lado o ángulo desconocido; luego se elige la razón que vincule esos elementos: seno (opuesto/hipotenusa), coseno (adyacente/hipotenusa) o tangente (opuesto/adyacente).

Temas y conceptos clave

Razones trigonométricasCálculo de altura en un paralelogramoÁrea de paralelogramossenocateto opuestohipotenusaángulo de 60°alturaárea

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula la altura de un paralelogramo usando trigonometría?

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¿Qué razón trigonométrica se usa si se conocen la hipotenusa y un ángulo?

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¿Cómo se obtiene el área de un paralelogramo a partir de su altura?

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📌 Antes de leer esto

• Identificar cateto opuesto, cateto adyacente e hipotenusa
• Conocer las razones trigonométricas básicas
• Manejar la tabla de valores trigonométricos
• Calcular el área de paralelogramos

Siguiente tema sugerido

Aplicación de las razones trigonométricas para calcular ángulos a partir de las medidas de los lados

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1661 caracteres

Si se traza la altura desde el vértice superior hasta la base del triángulo,se forma un triángulo rectángulo del que se conocen la hipotenusa y el ángulo de $60^{\circ}y$ como la altura es el cateto opuesto, la razón trigonométrica que se utiliza es el seno del ángulo.

$\begin{aligned}&\mathrm{seno}60^{\circ}=\frac{\mathrm{Cateto}\mathrm{Opuesto}}{\mathrm{Hipotenusa}}=\frac{\mathrm{Altra}}{15\mathrm{cm}}\\ &\\ &\mathrm{seno}60^{\circ}=\frac{x}{15}\\ &\\ &\mathrm{h}(15)(0.866)=x\\ &\\ &x=12.99\\ \end{aligned}$

Por tanto, el paralelogramo tiene una altura aproximada de 12.99 cm.

Con la medida de la altura del paralelogramo, se puede obtener su área como se presenta a continuación:

$\begin{aligned}\hat{A}\mathrm{rea}&=b\times b\\A&=21\mathrm{cm}\times12.99\mathrm{cm}^2\\A&=272.79\mathrm{cm}^2\end{aligned}$

Entonces, el paralelogramo tiene un área aproximada de 272.79 cm2.

Las razones trigonómetricas se pueden utilizar en la resolución de problemas que involucren un triángulo rectángulo,tanto para el cálculo de los ángulos como de los lados.

福

Para aplicar las razones trigonométricas en la resolución de problemas es necesario identifi car los datos conocidos y los desconocidos. A partir de ahí se debe decidir cuál razón se debe utilizar. Por ejemplo, cuando se tiene la medida de un ángulo se consulta la tabla de valores para conocer el valor de la razón y relacionarla con la medida de uno de los lados para obtener el valor faltante. O a la inversa, a partir de la relación entre las medidas de los lados, se consultan las tablas de valores para obtener el valor de la razón y entonces conocer la medida del ángulo.

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