Construcción de sólidos de revolución a partir de figuras planas
Respuesta rápida
Cilindro: gira un rectángulo sobre un lado; r = lado perpendicular, h = lado paralelo al eje. Cono: gira un triángulo rectángulo sobre un cateto; r = cateto perpendicular, h = cateto-eje, g = hipotenusa.
Solución — Página 124
Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026
Concepto de sólido de revolución
Un sólido de revolución se genera al girar 360^\circ una figura plana alrededor de un segmento llamado eje de revolución. A diferencia de los poliedros, no se define por sus caras planas, sino por la superficie curva que describe el giro.
Cilindro
Al girar un rectángulo (o un cuadrado) alrededor de uno de sus lados se obtiene un cilindro recto.
- El radio r del cilindro es igual a la medida del lado perpendicular al eje (la base del rectángulo).
- La altura h es igual al lado paralelo al eje de rotación.
V = \pi r^{2} h \qquad A_{lateral} = 2\pi r h \qquad A_{total} = 2\pi r (r+h)
Cono
Al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos se obtiene un cono recto.
- El radio r es la longitud del cateto perpendicular al eje.
- La altura h es el cateto sobre el que se apoya el eje.
- La generatriz g es la hipotenusa del triángulo: g = \sqrt{r^{2}+h^{2}}.
V = \frac{\pi r^{2} h}{3} \qquad A_{lateral} = \pi r g \qquad A_{total} = \pi r (r+g)
Respuesta orientativa: todo sólido de revolución hereda sus dimensiones de la figura plana que lo genera; identificar el eje permite relacionar radio, altura y generatriz con los lados de esa figura.
Contenido de la página
Construcción de sólidos de revolución a partir de figuras planas
Los sólidos de revolución, a diferencia de los geométricos, no se definen por las caras que los delimitan, sino a partir de la rotación completa de figuras planas alrededor de un segmento denominado eje de revolución.
Cilindro
Un cilindro recto se puede obtener por medio de la revolución de un cuadrado o un rectángulo, siempre que el eje de revolución esté en uno de sus lados.
El cilindro resultante tiene un radio igual a la medida de la base del paralelogramo usado y su altura coincide con la medida del otro lado, paralelo al eje de rotación.
Cono
Un cono recto se obtiene por medio de la revolución de un triángulo rectángulo; el eje de revolución es uno de los catetos.
De manera similar al cilindro, el radio (r) del cono resultante es igual a la longitud de la base del triángulo, mientras la altura es igual a la longitud del lado sobre el que se apoyó el eje de revolución. La generatriz (g) es la hipotenusa del mismo.
Ejemplos resueltos
Un rectángulo de 4 cm de base y 7 cm de altura gira alrededor de su lado de 7 cm. Describe el sólido y calcula su volumen.
Se genera un cilindro con r = 4\,\text{cm} y h = 7\,\text{cm}.
- V = \pi r^{2} h
- V = \pi (4)^{2}(7) = \pi \cdot 16 \cdot 7
- V = 112\pi \approx 351{,}86\,\text{cm}^{3}
Respuesta: V = 112\pi\,\text{cm}^{3} \approx 351{,}86\,\text{cm}^{3}.
Un triángulo rectángulo de catetos 3 cm y 5 cm gira alrededor del cateto de 5 cm. Calcula su volumen y su generatriz.
Se genera un cono con r = 3\,\text{cm} y h = 5\,\text{cm}.
- g = \sqrt{r^{2}+h^{2}} = \sqrt{9+25} = \sqrt{34} \approx 5{,}83\,\text{cm}
- V = \frac{\pi r^{2} h}{3} = \frac{\pi (9)(5)}{3}
- V = 15\pi \approx 47{,}12\,\text{cm}^{3}
Respuesta: V = 15\pi\,\text{cm}^{3} \approx 47{,}12\,\text{cm}^{3}; g = \sqrt{34}\,\text{cm} \approx 5{,}83\,\text{cm}.
Tabla
| Sólido | Figura que gira | Eje de revolución | Radio (r) | Altura (h) | Generatriz (g) |
|---|---|---|---|---|---|
| Cilindro | Rectángulo o cuadrado | Uno de sus lados | Lado perpendicular al eje | Lado paralelo al eje | No aplica |
| Cono | Triángulo rectángulo | Uno de sus catetos | Cateto perpendicular al eje | Cateto sobre el que se apoya el eje | Hipotenusa del triángulo |
Diagrama
graph TD
A[Figura plana] -->|gira 360°| B[Sólido de revolución]
B --> C[Cilindro]
B --> D[Cono]
C --> C1[Rectángulo o cuadrado]
C --> C2[Eje: un lado]
C --> C3[r = lado perpendicular; h = lado paralelo al eje]
D --> D1[Triángulo rectángulo]
D --> D2[Eje: un cateto]
D --> D3[r = cateto perpendicular; h = cateto-eje; g = hipotenusa]
Fórmulas y ecuaciones
V = \pi r^{2} h
V = \frac{\pi r^{2} h}{3}
g = \sqrt{r^{2}+h^{2}}
g = \sqrt{r^{2}+h^{2}}
V_{cilindro} = \pi r^{2} h
V_{cono} = \frac{\pi r^{2} h}{3}
A_{lateral\,cono} = \pi r g
Glosario (5)
- Sólido de revolución
- Cuerpo geométrico que se genera al girar 360° una figura plana alrededor de un eje.
- Eje de revolución
- Segmento alrededor del cual gira la figura plana para generar el sólido.
- Generatriz
- En el cono, la hipotenusa del triángulo rectángulo que lo genera; segmento que une el vértice con un punto de la circunferencia de la base.
- Cilindro recto
- Sólido generado al girar un rectángulo o cuadrado alrededor de uno de sus lados.
- Cono recto
- Sólido generado al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.
Preguntas para practicar
¿Por qué un sólido de revolución no se define por sus caras?
Porque su superficie no está formada por caras planas poligonales, sino por una superficie curva continua que se origina al girar una figura plana alrededor de un eje. Por eso se describe a partir de la figura generadora y del eje de rotación, no de un número fijo de caras.
¿Qué figura plana genera un cilindro y qué figura genera un cono?
El cilindro se genera al girar un rectángulo o un cuadrado alrededor de uno de sus lados. El cono se genera al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos, que actúa como eje de revolución.
Temas y conceptos clave
Figuras de la página (3)
Preguntas que la gente también hace
¿Qué es un sólido de revolución y cómo se genera?
¿Qué figura plana genera un cilindro al girar?
¿Cómo se obtiene la generatriz de un cono a partir del triángulo rectángulo?
- • Área y perímetro de figuras planas
- • Triángulo rectángulo y teorema de Pitágoras
- • Círculo: radio, diámetro y circunferencia
- • Noción de volumen y unidades cúbicas
📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1140 caracteres
Construcción de sólidos de revolución a partir de figuras planas
Los sólidos de revolución, a diferencia de los geométricos, no se definen por las caras que los delimitan, sino a partir de la rotación completa de fi guras planas alrededor de un segmento denominado eje de revolución.
Cilindro
Un cilindro recto se puede obtener por medio de la revolución de un cuadrado o un rectángulo, siempre que el eje de revolución esté en uno de sus lados.
Cono
Un cono recto se obtiene por medio de la revolución de un triángulo rectángulo; el eje de revolución es uno de los catetos.
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El cilindro resultante tiene un radio igual a la medida de la base del paralelogramo usado y su altura coincide con la medida del otro lado, paralelo al eje de rotación.
De manera similar al cilindro, el radio (r) del cono resultante es igual a la longitud de la base del triángulo, mientras la altura es igual a la longitud del lado sobre el que se apoyó el eje de revolución. La generatriz (g) es la hipotenusa del mismo.
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