Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 3 EGB

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Reparto inversamente proporcional: premios de una carrera de bicicletas

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Respuesta rápida

1.º: $600 000; 2.º:$ 450 000; 3.º: $400 000. Suma:$ 1 450 000.

matematica ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 121

Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejemplo 2

En una carrera de bicicletas se reparten tres premios que suman $1,450,000. El ganador tardó 1 h 12 min, el segundo 96 min y el tercero 12 min más que el segundo. El reparto es inversamente proporcional al tiempo.

Convertir los tiempos a minutos: $a=1\,\text{h}\,12\,\text{min}=72$ min, $b=96$ min, $c=96+12=108$ min.
Plantear la regla del reparto inversamente proporcional: $\frac{A}{\frac{1}{a}}=\frac{B}{\frac{1}{b}}=\frac{C}{\frac{1}{c}}=\frac{M}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$
Calcular el mcm de 72, 96 y 108. Descomponiendo: $72=2^{3}\cdot 3^{2}$ , $96=2^{5}\cdot 3$ , $108=2^{2}\cdot 3^{3}$ , entonces $\text{mcm}=2^{5}\cdot 3^{3}=864$ .
Escribir las razones inversas con denominador 864: $\frac{1}{a}=\frac{1}{72}=\frac{12}{864},\quad \frac{1}{b}=\frac{1}{96}=\frac{9}{864},\quad \frac{1}{c}=\frac{1}{108}=\frac{8}{864}$
Sumar las razones inversas: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{12}{864}+\frac{9}{864}+\frac{8}{864}=\frac{29}{864}$
Calcular la constante de proporcionalidad: $k=\frac{M}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}=\frac{1\,450\,000}{\frac{29}{864}}=\frac{1\,450\,000\cdot 864}{29}=\frac{1\,252\,800\,000}{29}=43\,200\,000$
Obtener cada premio con $A=k\cdot\frac{1}{a}$ , $B=k\cdot\frac{1}{b}$ , $C=k\cdot\frac{1}{c}$ : $A=43\,200\,000\cdot\frac{12}{864}=600\,000$ $B=43\,200\,000\cdot\frac{9}{864}=450\,000$ $C=43\,200\,000\cdot\frac{8}{864}=400\,000$

Respuesta: 1.er lugar: $600\,000; 2.º lugar:$ $450\,000$ ; 3.er lugar: $400,000.

Verificación: $600\,000+450\,000+400\,000=1\,450\,000$ ✓

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Por otro lado, se pueden presentar situaciones de reparto inversamente proporcional, como el siguiente ejemplo:

Ejemplo 2

En una carrera de bicicletas se otorgan tres premios (primer, segundo y tercer lugar) cuya suma total es $1 450 000. En la misma, el ganador registró un tiempo de 1 hora y 12 minutos, el participante que llegó en segundo lugar demoró 96 minutos y el tercero llegó a la meta 12 minutos después del segundo competidor. Considerando que el premio se repartirá entre los tres lugares de acuerdo con el tiempo demorado, descubrir cómo se debe repartir el premio.

Regla para reparto inversamente proporcional: Para realizar el reparto inversamente proporcional de una cierta cantidad ( $M$ ) a otras cantidades determinadas ( $a$ , $b$ y $c$ ), se construyen las razones inversamente proporcionales de la siguiente manera:

$\frac{A}{\frac{1}{a}}=\frac{B}{\frac{1}{b}}=\frac{C}{\frac{1}{c}}=\frac{M}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$

Donde $M=A+B+C$ y $A$ , $B$ y $C$ son las cantidades a determinar.

Información

$M$ : Monto total de los premios = $1 450 000
$a$ : Marca del 1er lugar = 1 h y 12 minutos = 72 minutos
$b$ : Marca del 2do lugar = 96 minutos
$c$ : Marca del 3er lugar = 96 minutos + 12 minutos = 108 minutos

Es importante determinar las fracciones equivalentes para facilitar la suma de fracciones. Para ello, se deben sustituir las variables por los minutos correspondientes; posteriormente, ubicar el mínimo común múltiplo de los denominadores y registrar las fracciones equivalentes cuyo denominador es el mínimo común múltiplo encontrado.

$\frac{1}{a}=\frac{1}{72}=\frac{12}{864}$

$\frac{1}{b}=\frac{1}{96}=\frac{9}{864}$

$\frac{1}{c}=\frac{1}{108}=\frac{8}{864}$

Luego se calcula la suma de las razones inversas:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{12}{864}+\frac{9}{864}+\frac{8}{864}=\frac{29}{864}$

Ejemplos resueltos

En una carrera de bicicletas se otorgan tres premios (primer, segundo y tercer lugar) cuya suma total es $1 450 000. El ganador registró un tiempo de 1 hora y 12 minutos, el segundo lugar demoró 96 minutos y el tercero llegó 12 minutos después del segundo. Repartir el premio de acuerdo con el tiempo demorado.

Tiempos: $a=72$ min, $b=96$ min, $c=108$ min.
mcm(72, 96, 108) = 864.
Razones inversas: $\frac{1}{72}=\frac{12}{864}$ , $\frac{1}{96}=\frac{9}{864}$ , $\frac{1}{108}=\frac{8}{864}$ .
Suma: $\frac{12+9+8}{864}=\frac{29}{864}$ .
Constante: $k=\frac{1\,450\,000}{29/864}=43\,200\,000$ .
Partes: $A=43\,200\,000\cdot\frac{12}{864}=600\,000$ ; $B=43\,200\,000\cdot\frac{9}{864}=450\,000$ ; $C=43\,200\,000\cdot\frac{8}{864}=400\,000$ .

Respuesta: 1.º: $600 000; 2.º:$ 450 000; 3.º: $400 000.

Fórmulas y ecuaciones

$\frac{A}{\frac{1}{a}}$ = $\frac{B}{\frac{1}{b}}$ = $\frac{C}{\frac{1}{c}}$ = $\frac{M}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$

$\frac{1}{a}$ = $\frac{1}{72}$ = $\frac{12}{864}$

$\frac{1}{b}$ = $\frac{1}{96}$ = $\frac{9}{864}$

$\frac{1}{c}$ = $\frac{1}{108}$ = $\frac{8}{864}$

$\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ + $\frac{1}{c}$ = $\frac{12}{864}$ + $\frac{9}{864}$ + $\frac{8}{864}$ = $\frac{29}{864}$

Glosario (4)

Reparto inversamente proporcional: Distribución de una cantidad en partes que son inversamente proporcionales a ciertos valores dados.
Razón inversa: Expresión de la forma 1/a, donde a es el valor al que se reparte inversamente.
Mínimo común múltiplo (mcm): Menor número que es múltiplo común de dos o más números.
Constante de proporcionalidad: Factor k que relaciona cada parte con su razón inversa: parte = k · (1/a).

Temas y conceptos clave

Reparto inversamente proporcionalProporcionalidad inversaProblemas de repartoReparto inversamente proporcionalConstante de proporcionalidadRazón inversaMínimo común múltiploFracciones equivalentes

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📌 Antes de leer esto

• Manejo de fracciones y fracciones equivalentes
• Cálculo del mínimo común múltiplo
• Concepto de proporción directa e inversa
• Conversión de unidades de tiempo

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Ejercicios de reparto inversamente proporcional con tres o más partes

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Por otro lado, se pueden presentar situaciones de reparto inversamente proporcional, como el siguiente ejemplo:

Ejemplo 2

En una carrera de bicicletas se otorgan tres premios (primer, segundo y tercer lugar) cuya suma total es $1 450 000. En la misma, el ganador registró un tiempo de 1 hora y 12 minutos, el participante que llegó en segundo lugar demoró96 minutos y el tercero llegó a la meta 12 minutos después del segundo competidor. Considerando que el premio se repartirá entre los tres lugares de acuerdo con el tiempo demorado, descubrir cómo se debe repartir el premio.

Regla para reparto inversamente proporcional: Para realizar el reparto inversamente proporcional de una cierta cantidad (M) a otras cantidades determinadas $(a,b y c)$ , se construyen las razones inversamente proporcionales de la siguiente manera:

$\frac{A}{\frac{1}{a}}=\frac{B}{\frac{1}{b}}=\frac{C}{\frac{1}{c}}=\frac{M}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$

Donde $M=A+B+C y A$ , By Cson las cantidades a determinar.