Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 3 EGB

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Reparto inversamente proporcional en una carrera

📄 ejemplo matematica 🎓 bachillerato · 3° Secundaria México 🇲🇽 MX 🗣 Español

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Respuesta rápida

Ganador: $600\,000; segundo:$ $450\,000$ ; tercero: $400\,000. Reparto directo:$ y $\div$ x = k $; reparto inverso:$ xy = k$.

matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 122

Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejercicio 1

Se reparte un premio de $1,450,000 entre tres corredores de forma inversamente proporcional a los tiempos empleados: 72, 96 y 108 minutos. Hallar cuánto recibe cada uno.

Planteamos la proporción inversa: las partes $A$ , $B$ y $C$ son inversamente proporcionales a los tiempos, por lo que se cumple $A \cdot 72 = B \cdot 96 = C \cdot 108 = k$ .
Expresamos cada parte en función de $k$ : $A = \frac{k}{72}$ , $B = \frac{k}{96}$ , $C = \frac{k}{108}$ .
La suma de las partes debe ser el premio total: $\frac{k}{72} + \frac{k}{96} + \frac{k}{108} = 1\,450\,000$ .
Calculamos el mínimo común denominador de 72, 96 y 108. Descomponiendo: $72 = 2^3 \cdot 3^2$ , $96 = 2^5 \cdot 3$ , $108 = 2^2 \cdot 3^3$ . El mcm es $2^5 \cdot 3^3 = 864$ .
Sumamos las fracciones: $\frac{12k}{864} + \frac{9k}{864} + \frac{8k}{864} = \frac{29k}{864}$ .
Igualamos al total: $\frac{29k}{864} = 1\,450\,000$ .
Despejamos $k$ : $k = \frac{1\,450\,000 \times 864}{29} = 43\,200\,000$ .
Calculamos cada parte:
- $A = \frac{43\,200\,000}{72} = 600\,000$ .
- $B = \frac{43\,200\,000}{96} = 450\,000$ .
- $C = \frac{43\,200\,000}{108} = 400\,000$ .
Verificamos que la suma sea el total: $600\,000 + 450\,000 + 400\,000 = 1\,450\,000$ .

Respuesta

El ganador recibe $600\,000, el segundo$ $450\,000$ y el tercero $400,000.

Ejercicio 2

Explicar por qué el ganador recibe más dinero.

El ganador empleó menos tiempo (72 min) que los demás.
En un reparto inversamente proporcional, a menor tiempo corresponde mayor cantidad de dinero.
Por tanto, el orden de los montos es inverso al orden de los tiempos.

Respuesta

Porque el reparto es inversamente proporcional al tiempo: quien tarda menos recibe más.

Ejercicio 3

Definir reparto proporcional directo e inverso.

En el reparto directo, las variables cambian en el mismo sentido: si una aumenta, la otra también. La constante de proporcionalidad es $k = \frac{y}{x}$ .
En el reparto inverso, las variables cambian en sentidos opuestos: si una aumenta, la otra disminuye. La constante es $k = x \cdot y$ .

Respuesta

Directo: $\frac{y}{x} = k$ ; inverso: $x \cdot y = k$ .

Contenido de la página

Entonces, las razones inversamente proporcionales de acuerdo con la regla, son:

$\frac{A}{\frac{1}{72}}=\frac{B}{\frac{1}{96}}=\frac{C}{\frac{1}{108}}=\frac{1450000}{\frac{29}{864}}=43200000$

Por tanto, el ganador de la carrera se embolsará $600 000, pues:

$A=43200000\times\frac{1}{72}=600000$

Al segundo lugar le corresponden $450 000, ya que:

$B=43200000\times\frac{1}{96}=450000$

Y, para el competidor que llegó en tercer lugar, recibe $400 000, puesto que:

$C=43200000\times\frac{1}{108}=400000$

El ganador de la carrera recibió un monto mayor al de los competidores que llegaron en segundo y tercer lugar, es decir, el corredor que empleó menor tiempo en terminar la carrera ganó mayor cantidad de dinero, es por ello que en esta situación se presenta una relación proporcional inversa.

En un reparto proporcional directo, las variables involucradas cambian de la misma manera, es decir, experimentan cambios de magnitud en el mismo sentido, hacia arriba o abajo (constante de proporcionalidad). Por otro lado, en un reparto inversamente proporcional, el cambio que sufren las variables es de proporcionalidad inversa: al incremento de una, le corresponde la disminución de otra, de acuerdo con las razones proporcionales determinadas.

Existen fenómenos o situaciones donde intervienen variables que cambian de manera proporcional. Con el estudio de la relación proporcional entre las variables independiente y dependiente, denotadas, respectivamente, por x y y, se puede determinar si se trata de una relación proporcional directa (cuando el cociente entre las variables es constante, es decir, $y \div x = k$ ) o si se trata de una relación proporcional inversa (cuando la constante entre las cantidades de estas variables resulta de la multiplicación $xy = k$ ).

Ejemplos resueltos

Se reparte un premio de $1 450 000 entre tres corredores de forma inversamente proporcional a sus tiempos: 72, 96 y 108 minutos. ¿Cuánto recibe cada uno?

Se plantea $A \cdot 72 = B \cdot 96 = C \cdot 108 = k$ . Entonces $A = k/72$ , $B = k/96$ , $C = k/108$ . La suma es $1 450 000$ , por lo que $k/72 + k/96 + k/108 = 1 450 000$ . El mcm de 72, 96 y 108 es 864. Sumando: $\frac{12k + 9k + 8k}{864} = \frac{29k}{864} = 1 450 000$ , de donde $k = 43 200 000$ . Luego $A = 43 200 000 / 72 = 600 000$ , $B = 43 200 000 / 96 = 450 000$ , $C = 43 200 000 / 108 = 400 000$ .

Tabla

Corredor	Tiempo (min)	Parte inversa	Monto ($)
1.º	72	1/72	600 000
2.º	96	1/96	450 000
3.º	108	1/108	400 000
Total	—	29/864	1 450 000

Fórmulas y ecuaciones

$\text{Reparto directo: }$ $\frac{y}{x}$ =k

$\text{Reparto inverso: }$ xy=k

$\frac{A}{\frac{1}{72}}$ = $\frac{B}{\frac{1}{96}}$ = $\frac{C}{\frac{1}{108}}$ = $\frac{1450000}{\frac{29}{864}}$ =43200000

$A=43200000\times$ $\frac{1}{72}$ =600000

$B=43200000\times$ $\frac{1}{96}$ =450000

$C=43200000\times$ $\frac{1}{108}$ =400000

y $\div$ x = k

xy = k

Glosario (4)

Reparto inversamente proporcional: Distribución de una cantidad en partes que disminuyen cuando aumenta la variable asociada (por ejemplo, a mayor tiempo, menor pago).
Constante de proporcionalidad: Valor k que relaciona dos variables proporcionales. En el reparto inverso, k = x·y; en el directo, k = y/x.
Proporción directa: Relación en la que al aumentar una variable, la otra aumenta en la misma proporción; su cociente es constante.
Proporción inversa: Relación en la que al aumentar una variable, la otra disminuye; su producto es constante.

Preguntas para practicar

¿Por qué el ganador recibe más dinero?

Porque el reparto es inversamente proporcional al tiempo empleado: a menor tiempo, mayor cantidad de dinero. El ganador hizo 72 minutos, el menor tiempo, por lo que le corresponde la mayor parte del premio.

¿Cómo se distingue un reparto directo de uno inverso?

En el reparto directo, las variables cambian en el mismo sentido y su cociente es constante (y/x = k). En el inverso, cambian en sentidos opuestos y su producto es constante (xy = k).

Temas y conceptos clave

Reparto inversamente proporcionalProporcionalidad directa e inversaReparto inversamente proporcionalConstante de proporcionalidadRazón inversaProporción directaProporción inversa

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se reparte una cantidad en partes inversamente proporcionales?

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¿Cuál es la diferencia entre reparto directo e inverso?

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¿Cómo se calcula la constante de proporcionalidad en un reparto inverso?

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📌 Antes de leer esto

• Manejo de fracciones y mínimo común múltiplo
• Concepto de razón y proporción
• Operaciones básicas con números enteros

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Problemas de reparto proporcional compuesto

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1794 caracteres

Entonces, las razones inversamente proporcionales de acuerdo con la regla,son:

$\frac{A}{\frac{1}{72}}=\frac{B}{\frac{1}{96}}=\frac{C}{\frac{1}{108}}=\frac{1450000}{\frac{29}{864}}=43200000$

Por tanto, el ganador de la carrera se embolsará $600 000, pues:

$A=43200000\times\frac{1}{72}=600000$

Al segundo lugar le corresponden $450 000, ya que:

$B=43200000\times\frac{1}{96}=450000$

Y, para el competidor que legó en tercer lugar, recibe $400 000, puesto que:

$C=43200000\times\frac{1}{108}=400000$

El ganador de la carrera recibió un monto mayor al de los competidores que legaron en segundo y tercer lugar, es decir, el corredor que empleómenor tiempo en terminar la carrera ganó mayor cantidad de dinero,es por ello que en esta situación se presenta una relación proporcional inversa.

En un reparto proporcional directo, las variables involucradas cambian de la misma manera,es decir, experimentan cambios de magnitud en el mismo sentido, hacia arriba o abajo (constante de proporcionalidad). Por otro lado, en un reparto inversamente proporcional, el cambio que sufren las variables es de proporcionalidad inversa: al incremento de una, le corresponde la disminución de otra, de acuerdo con las razones proporcionales determinadas.

Existen fenómenos o situaciones donde intervienen variables que cambian de manera proporcional. Con el estudio de la relación proporcional entre las variables independiente y dependiente, denotadas, respectivamente, por x y y, se puede determinar si se trata de una relación proporcional directa (cuando el cociente entre las variables es constante, es decir, $y\div x=k)$ I o si se trata de una relación proporcional inversa (cuando la constante entre las cantidades de estas variables resulta de la multiplicación $xy=k$ 1.

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