Rotaciones incompletas alrededor del eje de revolución

Cortes con planos que contienen el eje de revolución

• El corte de un cilindro recto con un plano que contenga el eje de revolución siempre genera un rectángulo.
• El corte de un cono recto con un plano que contenga el eje de revolución siempre resulta en un triángulo isósceles.
• El corte de una esfera con un plano que contenga el eje de revolución siempre es una circunferencia.

Rotaciones incompletas alrededor del eje de revolución

Otra propiedad de los sólidos de revolución se relaciona con la magnitud del giro alrededor del eje de revolución. Cuando el giro no se completa, el volumen del sólido geométrico resultante es una fracción del volumen que se obtiene con el giro completo.

Ejemplo

El sólido de revolución que se obtiene con el cuadrado de la figura tiene un volumen de 24\pi \, \text{cm}^{3}. ¿Cuál es el volumen del sólido resultante si la figura se rota tres cuartos del giro completo?

El primer paso consiste en identificar el sólido de revolución que resultaría de completar el giro; en este caso, es un cilindro. Luego, como se indica en el problema, se hacen tres cuartos de giro, de modo que el sólido resultante es el siguiente:

Por la magnitud de la rotación, el volumen de este sólido es tres cuartas partes del volumen del sólido completo:

V = \left(\frac{3}{4}\right)(24\pi \, \text{cm}^{3}) = 18\pi \, \text{cm}^{3}

El sólido resultante tiene un volumen de 18\pi \, \text{cm}^{3}.

La rotación de figuras alrededor de un eje representa un método alternativo para obtener sólidos geométricos denominados sólidos de revolución. Los sólidos de revolución más conocidos y las figuras planas que los generan son el cilindro, derivado de un cuadrado o un rectángulo; el cono, de un triángulo rectángulo; y la esfera, de un semicírculo. Entre las propiedades de los sólidos de revolución resalta su simetría con respecto del eje de revolución.

Las propiedades geométricas de los sólidos de revolución se aprovechan ampliamente en la industria, por eso se construyen máquinas como los tornos. Estas tienen el objetivo de fabricar objetos simétricos de madera, metal, plástico y otros materiales rígidos.