Esfera y sólidos de revolución: propiedades y ejemplos
Respuesta rápida
Esfera: gira un semicírculo sobre su diámetro. Ejemplo: cono + cilindro. Propiedades: simetría axial y sección longitudinal constante.
Solución — Página 125
Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026
Esfera como sólido de revolución
Al girar un semicírculo alrededor de la prolongación de su diámetro se genera una esfera. Todos los puntos de la superficie esférica equidistan del centro; esa distancia es el radio r.
V_{esfera}=\frac{4}{3}\pi r^{3}, \qquad A_{esfera}=4\pi r^{2}
Ejemplo: identificar el sólido de revolución
La figura plana está formada por un triángulo rectángulo y un cuadrado unidos. Al girar alrededor del eje vertical:
- El triángulo rectángulo genera un cono de radio r y altura h_1.
- El cuadrado genera un cilindro de radio r y altura h_2.
- El sólido resultante es la unión de un cono sobre un cilindro.
Respuesta: un cono sobre un cilindro (sólido compuesto).
Propiedades de los sólidos de revolución
- Si el sólido gira sobre su eje de revolución, se obtiene el mismo sólido (simetría axial).
- Cualquier corte con un plano que contenga el eje produce la misma figura plana generatriz.
Respuesta orientativa: estas propiedades permiten reconocer que todo sólido de revolución tiene simetría alrededor de su eje y que su sección longitudinal es constante.
Contenido de la página
Esfera
Para obtener la esfera como un sólido de revolución, se gira un semicírculo de modo que el eje de revolución sea una prolongación de su diámetro.
La semicircunferencia es una figura que se caracteriza porque todos los puntos de su lado curvo están a la misma distancia del punto medio del diámetro. Esta propiedad también se cumple en todos los puntos que forman la esfera, la cual se define como el conjunto de puntos equidistantes del punto denominado centro. Esa distancia hasta el centro se denomina radio de la esfera. La esfera comparte su centro con la semicircunferencia mediante la revolución de esta, así como el radio.
Hay más sólidos que se pueden obtener por revolución, variando la distancia al eje de revolución o cambiando la posición de la figura con respecto al eje.
Ejemplo
Identificar el sólido de revolución que se obtiene con la figura y el eje mostrados en la imagen.
La figura plana está compuesta por un triángulo y un cuadrado. Esta información sirve para identificar el sólido de revolución que se obtiene con cada figura por separado. A partir del triángulo se obtiene un cono y el cuadrado genera un cilindro. El sólido de revolución resultante es una combinación de dichos sólidos, como se muestra en la figura.
Propiedades de los sólidos de revolución
Una propiedad de los sólidos de revolución es que, si se hacen girar sobre su eje de revolución, se obtiene exactamente el mismo sólido.
Adicionalmente, ante cualquier corte con un plano que contenga el eje de revolución, el resultado es siempre la misma figura.
Ejemplos resueltos
Identificar el sólido de revolución que se obtiene con la figura y el eje mostrados en la imagen.
La figura plana está compuesta por un triángulo y un cuadrado. Al girar alrededor del eje vertical, el triángulo genera un cono y el cuadrado genera un cilindro. El sólido resultante es la combinación de un cono sobre un cilindro.
Diagrama
graph TD
A[Figura plana] --> B[Triángulo]
A --> C[Cuadrado]
B --> D[Cono]
C --> E[Cilindro]
D --> F[Sólido compuesto: cono + cilindro]
E --> F
Fórmulas y ecuaciones
V_{esfera}=@@MATH_0@@\pi r^{3}
A_{esfera}=4\pi r^{2}
V_{esfera}=@@MATH_0@@\pi r^{3}
A_{esfera}=4\pi r^{2}
Glosario (4)
- Esfera
- Conjunto de puntos del espacio que equidistan de un punto llamado centro.
- Radio
- Distancia desde el centro de la esfera hasta cualquier punto de su superficie.
- Eje de revolución
- Recta alrededor de la cual gira una figura plana para generar un sólido.
- Sólido de revolución
- Cuerpo geométrico generado al girar una figura plana alrededor de un eje.
Preguntas para practicar
¿Qué propiedad comparten todos los puntos de la superficie esférica?
Todos equidistan del centro de la esfera, es decir, están a la misma distancia llamada radio.
¿Qué sólido se obtiene al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos?
Se obtiene un cono, cuyo radio es el cateto perpendicular al eje y cuya altura es el cateto sobre el eje.
Temas y conceptos clave
Figuras de la página (3)
Preguntas que la gente también hace
¿Cómo se obtiene una esfera al girar un semicírculo?
¿Qué sólido se forma al girar un triángulo rectángulo?
¿Cuáles son las propiedades de los sólidos de revolución?
- • Círculo y circunferencia
- • Cuerpos geométricos básicos
- • Eje de simetría
📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1700 caracteres
Esfera
Para obtener la esfera como un sólido de revolución, se gira un semicírculo de modo que el eje de revolución sea una prolongación de su diámetro.
La semicircunferencia es una fi gura que se caracteriza porque todos los puntos de su lado curvo están a la misma distancia del punto medio del diámetro. Esta propiedad también se cumple en todos los puntos que forman la esfera, la cual se define como el conjunto de puntos equidistantes del punto denominado centro. Esa distancia hasta el centro se denomina radio de la esfera. La esfera comparte su centro con la semicircunferencia mediante la revolución de ésta, así como el radio.
Hay más sólidos que se pueden obtener por revolución, variando la distancia al eje de revolución o cambiando la posición de la figura con respecto al eje.
Ejemplo
Identifi car el sólido de revolución que se obtiene con la fi gura y el eje mostrados en la imagen.
La figura plana está compuesta por un triángulo y un cuadrado.Esta información sirve para identificar el sólido de revolución que se obtiene con cada figura por separado. A partir del triángulo se obtiene un cono y el cuadrado genera un cilindro. El sólido de revolución resultante es una combinación de dichos sólidos, como se muestra en la figura.
Propiedades de los sólidos de revolución
Una propiedad de los sólidos de revolución es que, si se hacen girar sobre su eje de revolución, se obtiene exactamente el mismo sólido.
Adicionalmente, ante cualquier corte con un plano que contenga el eje de revolución, el resultado es siempre la misma figura.
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