Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 3 EGB

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Relaciones entre el volumen de la esfera, el cono y el cilindro

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Respuesta rápida

$V_{\text{cilindro}} = \pi r^{2} h$ . Válida para cilindros rectos y oblicuos.

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Solución — Página 128

Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Explicación del contenido

La página presenta los cuerpos geométricos con superficies curvas: esfera, cilindro y cono. Señala que sus volúmenes se calculan con procedimientos similares a los de los poliedros, pero aplicados a cantidades cada vez más pequeñas (idea intuitiva del límite).

El cilindro

Un cilindro se obtiene al proyectar un círculo ubicado en un plano sobre otro plano paralelo:

Si la proyección es perpendicular a los planos, el cilindro es recto o rectangular.
Si la proyección no es perpendicular, el cilindro es oblicuo.

Deducción de la fórmula del volumen

Se parte de un prisma cuya base es un polígono regular con gran cantidad de lados, de modo que se aproxima a un cilindro.
El volumen de un prisma es área de la base por altura: $V = B \times h$ .
Para el cilindro, la base es un círculo de radio $r$ , entonces $B = \pi r^{2}$ .
Sustituyendo: $V_{\text{cilindro}} = B \times h = \pi r^{2} h$ .

$V_{\text{cilindro}} = \pi r^{2} h$

Esta fórmula es válida tanto para cilindros rectos como oblicuos, igual que en los prismas.

Inicio del cono

Si desde el centro de una de las bases del cilindro se proyecta hasta el contorno de la otra base, se obtiene una superficie curva que, unida a la base, forma un cono. Este desarrollo se continúa en la página siguiente.

Respuesta orientativa: El volumen del cilindro se obtiene multiplicando el área de su base circular por su altura, es decir, $V = \pi r^{2} h$ , resultado que se deduce aproximando el cilindro mediante un prisma de base poligonal regular con muchos lados.

Contenido de la página

Comprensión de las relaciones entre el volumen de la esfera, el cono y el cilindro

Entre los cuerpos geométricos con superficies curvas destacan la esfera, el cilindro y el cono, cuyos volúmenes se calculan con procedimientos similares a los usados para los poliedros, pero aplicados a cantidades cada vez más pequeñas.

Además, la relación que hay entre el cálculo de los volúmenes de estos sólidos también existe porque están vinculados con una curva plana muy conocida y útil en la vida diaria: el círculo.

Un cilindro es un cuerpo geométrico que se obtiene con la proyección de un círculo ubicado en un plano sobre otro plano paralelo. Si esta proyección sigue una trayectoria perpendicular a los planos, entonces se obtiene un cilindro recto o rectangular (a la izquierda en la imagen), de lo contrario se obtiene un cilindro oblicuo (a la derecha).

Al respecto, dos cosas se pueden obtener inicialmente. En primer lugar, a partir de un prisma cuya base sea un polígono regular con una gran cantidad de lados, de suerte que se aproxima a un cilindro, su volumen se puede obtener de una manera similar al de un prisma: multiplicando el área de la base ( $B$ ) por la altura. Entonces, si $r$ es el radio del círculo de la base del cilindro y $h$ es la altura del cilindro, la fórmula para calcular el volumen del cilindro es:

$V_{\text{cilindro}} = B \times h = \pi r^{2} h$

En segundo lugar, como en el caso de los prismas, esta fórmula es válida sin importar si el cilindro es recto o no.

Ahora bien, si desde el centro de cualesquiera de las bases de un cilindro (puede ser la superior), se hace una proyección hasta el contorno de la otra base, se obtiene una superficie curva, la cual, unida a la base, forma un...

Tabla

Cuerpo	Base	Fórmula del volumen
Cilindro	Círculo	$V = \pi r^{2} h$
Cono	Círculo	$V = \frac{1}{3}\pi r^{2} h$
Esfera	—	$V = \frac{4}{3}\pi r^{3}$

Diagrama

graph TD
  A[Cuerpos con superficies curvas] --> B[Cilindro]
  A --> C[Cono]
  A --> D[Esfera]
  B --> B1[Recto: proyección perpendicular]
  B --> B2[Oblicuo: proyección no perpendicular]
  B --> B3[V = π r² h]
  C --> C1[V = (1/3) π r² h]
  D --> D1[V = (4/3) π r³]

Fórmulas y ecuaciones

$V_{$ $\text{cilindro}$ } = $\pi$ $r^{2}$ h

$V_{$ $\text{cilindro}$ } = B $\times$ h

$V_{$ $\text{cilindro}$ } = $\pi$ $r^{2}$ h

B = $\pi$ $r^{2}$

Glosario (6)

Cilindro: Cuerpo geométrico generado al proyectar un círculo de un plano sobre otro plano paralelo.
Cilindro recto: Cilindro cuya proyección es perpendicular a los planos de las bases.
Cilindro oblicuo: Cilindro cuya proyección no es perpendicular a los planos de las bases.
Base: Círculo que sirve de apoyo al cilindro; su área se denota con B.
Altura: Distancia perpendicular entre las dos bases del cilindro; se denota con h.
Radio: Distancia del centro al contorno del círculo de la base; se denota con r.

Preguntas para practicar

¿Por qué la fórmula del volumen del cilindro es válida también para cilindros oblicuos?

Porque, al igual que en los prismas, el volumen depende únicamente del área de la base y de la altura perpendicular entre las bases, no de la inclinación del cuerpo. El principio de Cavalieri garantiza que cilindros con la misma base y altura tengan el mismo volumen, sin importar si son rectos u oblicuos.

¿Qué relación existe entre el círculo y los cuerpos geométricos con superficies curvas?

El círculo es la figura plana que genera a estos cuerpos: al proyectarlo se forma el cilindro, al girarlo alrededor de un diámetro se forma la esfera y al unir un punto exterior con el contorno de la base se forma el cono. Por eso el área del círculo, $\pi r^{2}$, aparece en las fórmulas de sus volúmenes.

Temas y conceptos clave

Cuerpos geométricos con superficies curvasVolumen del cilindroCilindro recto y oblicuoRelación entre cilindro, cono y esferaCilindroCilindro rectoCilindro oblicuoÁrea de la baseAlturaRadioVolumenAproximación por prismas

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Figuras de la página (1)

Dos cilindros sobre planos paralelos. A la izquierda, un cilindro recto con etiquetas 'Radio', 'Altura' y 'Centro'. A la derecha, un cilindro oblicuo con las mismas etiquetas. — Figura 1 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula el volumen de un cilindro?

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¿Cuál es la diferencia entre un cilindro recto y uno oblicuo?

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¿Por qué la fórmula del volumen del cilindro es válida también para cilindros oblicuos?

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📌 Antes de leer esto

• Área del círculo
• Volumen de prismas
• Polígonos regulares
• Número π

Siguiente tema sugerido

Volumen del cono y de la esfera y su relación con el cilindro

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1801 caracteres

Comprensión de las relaciones entre el volumen de la esfera, el cono y el cilindro

Además, la relación que hay entre el cálculo de los volúmenes de estos sólidos también existe porque están vinculados con una curva plana muy conocida y útil en la vida diaria: el círculo.

Un cilindro es un cuerpo geométrico que se obtiene con la proyección de un círculo ubicado en un plano sobre otro plano paralelo. Si esta proyección sigue una trayectoria perpendicular a los planos, entonces se obtiene un cilindro recto o rectangular (a la izquierda en la imagen), de lo contrario se obtiene un cilindro oblicuo (a la derecha):

Al respecto, dos cosas se pueden obtener inicialmente. En primer lugar, a partir de un prisma cuya base sea un poligono regular con una gran cantidad de lados, de suerte que se aproxima a un cilindro, su volumen se puede obtener de una manera similar al de un prisma:multiplicando el área de la base (B) por la altura. Entonces, si r es el radio del círculo de la base del cilindro y h es la altura del cilindro, la fórmula para calcular el volumen del cilindro es:

$\begin{array}{l}V_{\mathrm{c l i n d r o}}=B\times b\\ =\pi r^{2}b\end{array}$

En segundo lugar, como en el caso de los prismas, esta fórmula es válida sin importar si el cilindro es recto o no.

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