Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 3 EGB

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Volumen del cono y elementos de la esfera

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$V_{\text{cono}} = \frac{1}{3}\pi r^{2} h$ . La esfera es el conjunto de puntos equidistantes del centro; su sección central es un círculo máximo.

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Solución — Página 129

Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Explicación 1: Del cilindro al cono

Si a un cilindro recto se le elige un punto en la cara superior y se une con todos los puntos del borde de la base, se obtiene un cono recto. El vértice es el punto elegido y la base es el mismo círculo del cilindro.

Respuesta orientativa: el cono recto es el sólido que resulta de "estirar" la cara superior del cilindro hasta un solo punto.

Explicación 2: Del prisma a la pirámide y de la pirámide al cono

Así como un cilindro se aproxima con un prisma de muchas caras laterales, un cono se aproxima con una pirámide cuya base es un polígono regular con muchos lados. Cuantos más lados tenga el polígono, más se parece la pirámide al cono.

Respuesta orientativa: el cono es el límite de una sucesión de pirámides cuyas bases son polígonos regulares con número creciente de lados.

Explicación 3: Fórmula del volumen del cono

El volumen del cono es un tercio del producto del área de su base $B$ por su altura $h$ :

$V_{\text{cono}} = \frac{1}{3} B \times h$

Como la base es un círculo de radio $r$ , su área es $B = \pi r^{2}$ . Sustituyendo:

$V_{\text{cono}} = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$

Esta fórmula es válida tanto para conos rectos como oblicuos.

Respuesta: $V_{\text{cono}} = \dfrac{1}{3}\pi r^{2} h$ .

Explicación 4: La esfera

La esfera es el conjunto de todos los puntos que están a la misma distancia de un punto llamado centro. Esa distancia constante es el radio $r$ .

Si un plano corta a la esfera pasando por su centro, la intersección es un círculo máximo cuyo centro y radio coinciden con los de la esfera.

Respuesta orientativa: la esfera es una superficie de puntos equidistantes del centro; su sección central es un círculo del mismo radio.

Contenido de la página

cono cuyo vértice es el punto elegido en la parte superior. Si el cilindro original es un cilindro recto, el sólido que se obtiene es un cono recto (imagen de la izquierda).

Igual que con la relación entre cilindros y prismas, un cono se puede aproximar a partir de una pirámide, cuya base sea un polígono regular con muchos lados.

Así, el volumen del cono es un tercio del producto del área de su base ( $B$ ) por su altura. Entonces, si $r$ es el radio del círculo de la base del cono y $h$ es su altura, se tiene la siguiente fórmula para el volumen del cono:

$V_{\text{cono}} = \frac{1}{3} B \times h = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$

Como en el caso de los cilindros, no importa si el cono es recto o no, la fórmula para el cálculo del volumen es la misma.

El tercer cuerpo geométrico, la esfera, es el conjunto de puntos que están a una misma distancia de un punto llamado centro. Esa distancia es el radio ( $r$ ) de la esfera. Si un plano corta a la esfera y pasa por su centro, se forma un círculo, cuyo centro y radio son los mismos que los de la esfera.

Tabla

Cuerpo	Base	Fórmula del volumen
Cilindro	Círculo de radio $r$	$V = \pi r^{2} h$
Cono	Círculo de radio $r$	$V = \frac{1}{3}\pi r^{2} h$
Pirámide	Polígono de área $B$	$V = \frac{1}{3} B h$

Diagrama

graph TD
  A[Cuerpos geometricos] --> B[Cono]
  A --> C[Esfera]
  B --> B1[Base circular de radio r]
  B --> B2[Vertice]
  B --> B3[Altura h]
  B --> B4[V = (1/3) pi r^2 h]
  C --> C1[Centro]
  C --> C2[Radio r]
  C --> C3[Seccion central: circulo maximo]

Fórmulas y ecuaciones

$V_{$ $\text{cono}$ } = $\frac{1}{3}$ $\pi$ $r^{2}$ h

$V_{$ $\text{cono}$ } = $\frac{1}{3}$ B $\times$ h

$V_{$ $\text{cono}$ } = $\frac{1}{3}$ $\pi$ $r^{2}$ h

B = $\pi$ $r^{2}$

Glosario (6)

Cono: Cuerpo geométrico con una base circular y un vértice; se forma al unir el vértice con todos los puntos del borde de la base.
Cono recto: Cono en el que el pie de la altura coincide con el centro de la base circular.
Altura (h): Distancia perpendicular del vértice al plano de la base.
Radio (r): Distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia o de la esfera.
Esfera: Conjunto de puntos del espacio que equidistan de un punto llamado centro.
Círculo máximo: Sección de la esfera producida por un plano que pasa por su centro; tiene el mismo radio que la esfera.

Preguntas para practicar

¿Por qué el volumen del cono es un tercio del volumen del cilindro con la misma base y altura?

Porque el cono puede verse como el límite de pirámides inscritas en un prisma de igual base y altura, y el volumen de toda pirámide es un tercio del prisma correspondiente. Al aumentar el número de lados de la base poligonal, la pirámide se aproxima al cono y el cilindro al prisma, conservándose la razón 1 a 3.

¿Qué diferencia hay entre un cono recto y un cono oblicuo? ¿Cambia la fórmula del volumen?

En el cono recto el pie de la altura coincide con el centro de la base; en el oblicuo, no. La fórmula del volumen es la misma en ambos casos porque solo depende del área de la base y de la altura perpendicular.

Temas y conceptos clave

Formación del cono a partir del cilindroAproximación del cono mediante pirámidesFórmula del volumen del conoLa esfera: centro, radio y sección centralCono rectoVérticeAlturaRadio de la baseÁrea de la baseEsferaCentroCírculo máximo

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Figuras de la página (3)

Dos cilindros rectos con un cono inscrito; se muestra cómo al elegir un punto en la cara superior y unirlo con el borde de la base se forma un cono recto. — Figura 1 image

A la izquierda, una pirámide con base poligonal de muchos lados que se aproxima a un cono. A la derecha, un cono con las etiquetas Vértice, Altura y Radio. — Figura 2 image

Esfera con un plano que pasa por su centro, generando un círculo máximo; se marca el radio r desde el centro. — Figura 3 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula el volumen de un cono?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Por qué el volumen del cono es un tercio del volumen del cilindro?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué es la esfera y cuáles son sus elementos?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Área del círculo
• Volumen del cilindro y del prisma
• Elementos de la circunferencia: radio y centro
• Polígonos regulares

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Volumen de la esfera y resolución de problemas con conos y esferas

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1193 caracteres

cono cuyo vértice es el punto elegido en la parte superior. Si el cilindro original es un cilindro recto, el sólido que se obtiene es un cono recto (imagen de la izquierda):

Igual que con la relación entre cilindros y prismas, un cono se puede aproximar a partir de una pirámide, cuya base sea un polígono regular con muchos lados:

Así, el volumen del cono es un tercio del producto del área de su base (B) por su altura. Entonces, si res el radio del círculo de la base del cono y h es su altura, se tiene la siguiente fórmula para el volumen del cono:

$\begin{aligned}V_{cono}=\frac{1}{3}B\times b\\=\frac{1}{3}\pi r^2b\end{aligned}$

Como en el caso de los cilindros, no importa si el cono es recto o no, la fórmula para el cálculo del volumen es la misma.

El tercer cuerpo geométrico, la esfera, es el conjunto de puntos que están a una misma distancia de un punto llamado centro. Esa distancia es el radio (r) de la esfera. Si un plano corta a la esfera y pasa por su centro, se forma un círculo, cuyo centro y radio son los mismos que los de la esfera.

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