Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 3 EGB

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Principio de Cavalieri y volumen de la esfera

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Respuesta rápida

Principio de Cavalieri: secciones iguales implican volúmenes iguales. Aplicado a la esfera: $V=\frac{4}{3}\pi r^{3}$ .

📚 theory matematica ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 130

Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Principio de Cavalieri

Enunciado: dos sólidos colocados entre planos paralelos tienen el mismo volumen si toda sección plana paralela a las bases produce áreas iguales en ambos sólidos.

Se apoyan los dos sólidos sobre un plano $a$ .
Se cortan con un plano $b$ paralelo a $a$ .
Se comparan las áreas de las secciones: $A_{1}$ y $A_{2}$ .
Se repite el corte a distintas alturas hasta que el plano deje de intersecar los sólidos.
Si $A_{1}=A_{2}$ en todas las alturas, entonces $V_{1}=V_{2}$ .

Respuesta: el principio permite igualar volúmenes comparando áreas de secciones paralelas.

Aplicación a la esfera

Enunciado: comparar una esfera de radio $r$ con un cilindro de radio $r$ y altura $2r$ al que se le extraen dos conos rectos de base $r$ y vértices coincidentes en el centro.

Altura total del cilindro: $h=2r$ .
Volumen del cilindro: $V_{cil}=\pi r^{2}(2r)=2\pi r^{3}$ .
Cada cono tiene base de radio $r$ y altura $r$ : $V_{cono}=\frac{1}{3}\pi r^{2}(r)=\frac{1}{3}\pi r^{3}$ .
Dos conos: $2V_{cono}=\frac{2}{3}\pi r^{3}$ .
Sólido 2 (cilindro menos conos): $V_{2}=2\pi r^{3}-\frac{2}{3}\pi r^{3}=\frac{4}{3}\pi r^{3}$ .
Por el principio de Cavalieri, $V_{esfera}=V_{2}$ .

Respuesta: $V_{esfera}=\frac{4}{3}\pi r^{3}$ .

Contenido de la página

Ahora bien, para obtener el volumen de la esfera se puede utilizar una propiedad llamada principio de Cavalieri. Este principio funciona de la siguiente manera:

Se toman dos sólidos (1, 2) y se colocan sobre un plano ( $a$ ).
Se cortan los dos sólidos con un plano paralelo ( $b$ ) al plano sobre el que se están apoyando.
Se comparan las áreas que se obtienen en los cortes del paso anterior.
Se repiten los pasos 2 y 3 hasta que no haya intersección entre los sólidos y el plano paralelo que se traza.
Si todas las comparaciones de las áreas son iguales, entonces los dos sólidos tienen el mismo volumen.

Esto se ilustra a continuación:

Sólido 1 (prisma inclinado) y Sólido 2 (prisma recto), ambos de altura $h$ , con secciones de áreas $2a$ y $2b$ en el plano $b$ , y $1a$ y $1b$ en el plano $a$ .

El volumen de la esfera se relaciona con el volumen del cono y del cilindro utilizando este principio.

En la imagen siguiente, el primer sólido es una esfera de radio $r$ . El segundo sólido es un cilindro recto cuyas bases tienen radio $r$ , y su altura es el doble del radio ( $2r$ ), pero a ese cilindro se le han quitado dos conos rectos, cuyas bases coinciden con las del cilindro, y sus vértices coinciden entre sí.

Ejemplos resueltos

Comprobar que el sólido formado por un cilindro de radio $r$ y altura $2r$ al que se le quitan dos conos de radio $r$ y altura $r$ tiene volumen $\frac{4}{3}\pi r^{3}$ .

$V_{cil}=\pi r^{2}(2r)=2\pi r^{3}$ .
$V_{cono}=\frac{1}{3}\pi r^{2}(r)=\frac{1}{3}\pi r^{3}$ .
Dos conos: $\frac{2}{3}\pi r^{3}$ .
$V_{2}=2\pi r^{3}-\frac{2}{3}\pi r^{3}=\frac{4}{3}\pi r^{3}$ .
Por Cavalieri, $V_{esfera}=\frac{4}{3}\pi r^{3}$ .

Diagrama

flowchart TD
  A[Principio de Cavalieri] --> B[Dos sólidos sobre plano a]
  B --> C[Corte con plano b paralelo]
  C --> D[Comparar áreas de secciones]
  D --> E{¿Áreas iguales?}
  E -- Sí --> F[Mismo volumen]
  E -- No --> G[Volúmenes distintos]

Fórmulas y ecuaciones

$V_{esfera}$ = $\frac{4}{3}$ $\pi$ $r^{3}$

$V_{cil}$ = $\pi$ $r^{2}(2r)$ = $2\pi$ $r^{3}$

$V_{cono}$ = $\frac{1}{3}@@MATH_0@@\pi$ $r^{3}$

$V_{esfera}$ = $2\pi$ $r^{3}$ - $\frac{2}{3}@@MATH_0@@\pi$ $r^{3}$

Glosario (3)

Principio de Cavalieri: Propiedad que afirma que dos sólidos con igual altura y secciones paralelas de igual área tienen el mismo volumen.
Sección plana: Figura que resulta de cortar un sólido con un plano.
Plano paralelo: Plano que mantiene siempre la misma distancia respecto a otro.

Preguntas para practicar

¿Por qué el principio de Cavalieri permite afirmar que la esfera y el cilindro menos los conos tienen el mismo volumen?

Porque al cortar ambos sólidos con planos paralelos a la base se obtienen secciones de igual área en cada altura. Al coincidir todas las áreas de las secciones, el principio garantiza que los volúmenes son iguales.

Temas y conceptos clave

Principio de CavalieriVolumen de la esferasección planaplanos paralelosequivalencia de volúmenescilindro menos conos

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Figuras de la página (2)

Dos prismas, uno inclinado y otro recto, de igual altura h, cortados por planos paralelos a y b que generan secciones de áreas 2a, 2b, 1a y 1b. — Figura 1 image

Esfera de radio r junto a un cilindro de radio r y altura 2r con dos conos rectos inscritos que comparten vértice en el centro. — Figura 2 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se deduce la fórmula del volumen de la esfera?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué dice el principio de Cavalieri y para qué sirve?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Por qué el cilindro menos dos conos tiene el mismo volumen que la esfera?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Área del círculo
• Volumen de cilindros y conos
• Planos paralelos y secciones planas

Siguiente tema sugerido

Cálculo del volumen de la esfera con la fórmula V = 4/3 π r³

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1161 caracteres

Ahora bien, para obtener el volumen de la esfera se puede utilizar una propiedad llamada principio de Cavalieri. Este principio funciona de la siguiente manera:

Se toman dos sólidos (1, 2) y se colocan sobre un plano (a).
Se cortan los dos sólidos con un plano paralelo (b) al plano sobre el que se están apoyando.
Se comparan las áreas que se obtienen en los cortes del paso anterior.
Se repiten los pasos 2 y 3 hasta que no haya intersección entre los sólidos y el plano paralelo que se traza.
Si todas las comparaciones de las áreas son iguales, entonces los dos sólidos tienen el mismo volumen.

El volumen de la esfera se relaciona con el volumen del cono y del cilindro utilizando este principio.

En la imagen siguiente, el primer sólido es una esfera de radio r. El segundo sólido es un cilindro recto cuyas bases tienen radio r, y su altura es el doble del radio (2r), pero a ese cilindro se le han quitado dos conos rectos, cuyas bases coinciden con las del cilindro, y sus vértices coinciden entre sí.

求

129

Esto se ilustra a continuación:Sólido1

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