Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 3 EGB

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Volumen de la esfera por el principio de Cavalieri

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Respuesta rápida

$V_{esfera} = \frac{4}{3}\pi r^{3}$ . El cono es $\frac{1}{3}$ del cilindro de igual base y altura; la esfera es $\frac{2}{3}$ del cilindro de radio $r$ y altura $2r$ .

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Solución — Página 132

Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Deducción del volumen de la esfera

Se comparan dos sólidos de igual altura $2r$ : a la izquierda una esfera de radio $r$ ; a la derecha un cilindro de radio $r$ y altura $2r$ al que se le extraen dos conos de radio $r$ y altura $r$ (uno superior y otro inferior).

Volumen del cilindro de radio $r$ y altura $h = 2r$ :

$V_{cilindro} = \pi r^{2} h = \pi r^{2}(2r) = 2\pi r^{3}$

Volumen de un cono de radio $r$ y altura $h = r$ :

$V_{cono} = \frac{1}{3}\pi r^{2} h = \frac{1}{3}\pi r^{2}(r) = \frac{1}{3}\pi r^{3}$

Volumen de los dos conos extraídos:

$2 \cdot V_{cono} = 2 \cdot \frac{1}{3}\pi r^{3} = \frac{2}{3}\pi r^{3}$

Volumen del sólido derecho (cilindro menos los dos conos):

$V_{cilindro} - V_{conos} = 2\pi r^{3} - \frac{2}{3}\pi r^{3} = \frac{6\pi r^{3} - 2\pi r^{3}}{3} = \frac{4}{3}\pi r^{3}$

Por el principio de Cavalieri, como toda sección horizontal del sólido derecho tiene la misma área que la sección correspondiente de la esfera, ambos volúmenes son iguales.

Respuesta: El volumen de la esfera de radio $r$ es $V = \frac{4}{3}\pi r^{3}$ .

Relaciones entre esfera, cono y cilindro

Cono y cilindro con igual radio $r$ e igual altura $h$ :

$\frac{V_{cono}}{V_{cilindro}} = \frac{\frac{1}{3}\pi r^{2}h}{\pi r^{2}h} = \frac{1}{3}$

Esfera de radio $r$ y cilindro de radio $r$ con altura $h = 2r$ :

$\frac{V_{esfera}}{V_{cilindro}} = \frac{\frac{4}{3}\pi r^{3}}{2\pi r^{3}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Respuesta: El cono es $\frac{1}{3}$ del cilindro de igual base y altura; la esfera es $\frac{2}{3}$ del cilindro de radio $r$ y altura $2r$ .

Contenido de la página

Se observa que ambas áreas, sin importar dónde se ubique el plano $P$ , son iguales, así que es posible considerar el principio de Cavalieri, y entonces calcular el volumen del sólido de la derecha (el cilindro al que se le quitaron los conos) y así obtener el volumen del sólido de la izquierda (la esfera):

$V_{cilindro} = \pi r^{2} h = \pi r^{2}(2r)$

$V_{conos} = \frac{1}{3}\pi r^{2} h = \frac{1}{3}\pi r^{2}(2r)$

Entonces:

$V_{cilindro} - V_{conos} = \pi r^{2}(2r) - 2\left(\frac{1}{3}\pi r^{2}(r)\right) = 2\pi r^{3} - \frac{2}{3}\pi r^{3} = \frac{4}{3}\pi r^{3}$

Esto quiere decir, por el principio de Cavalieri, que el volumen de una esfera de radio $r$ también es $\frac{4}{3}\pi r^{3}$ .

Los sólidos esfera, cono y cilindro están vinculados en su forma, pero también en el cálculo de sus volúmenes. Así, por un lado, si las bases de un cilindro y un cono tienen el mismo radio, y sus alturas también son iguales, el volumen del cono será un tercio del que tiene el cilindro.

Por otro lado, si un cilindro recto tiene el mismo radio en su base que una esfera, y su altura es el doble del radio, el volumen de la esfera es dos tercios el volumen del cilindro.

Como se ha mostrado, los cálculos en los volúmenes de los tres sólidos están vinculados entre sí. Esta relación ocurre en buena medida porque los tres sólidos están construidos con superficies curvas que pueden, de una u otra manera, ser generadas a partir de círculos.

Ejemplos resueltos

Deducir el volumen de una esfera de radio $r$ usando el principio de Cavalieri comparándola con un cilindro de radio $r$ y altura $2r$ al que se le extraen dos conos de radio $r$ y altura $r$ .

$V_{cilindro} = \pi r^{2}(2r) = 2\pi r^{3}$ .
$V_{cono} = \frac{1}{3}\pi r^{2}(r) = \frac{1}{3}\pi r^{3}$ ; dos conos: $\frac{2}{3}\pi r^{3}$ .
$V_{cilindro} - 2V_{cono} = 2\pi r^{3} - \frac{2}{3}\pi r^{3} = \frac{4}{3}\pi r^{3}$ .
Por Cavalieri, $V_{esfera} = \frac{4}{3}\pi r^{3}$ .

Tabla

Sólido	Fórmula de volumen	Relación
Cilindro (r, h)	$V = \pi r^{2}h$	Referencia
Cono (r, h)	$V = \frac{1}{3}\pi r^{2}h$	$\frac{1}{3}$ del cilindro
Esfera (r)	$V = \frac{4}{3}\pi r^{3}$	$\frac{2}{3}$ del cilindro de altura $2r$

Diagrama

graph LR
  A[Esfera de radio r] -->|Cavalieri| B[Cilindro 2r menos 2 conos]
  B --> C[V = 2πr³ - 2/3πr³]
  C --> D[V = 4/3 πr³]

Fórmulas y ecuaciones

$V_{esfera}$ = $\frac{4}{3}$ $\pi$ $r^{3}$

$V_{cono}$ = $\frac{1}{3}$ $\pi$ $r^{2}h$

$V_{cilindro}$ = $\pi$ $r^{2}h$

$V_{cilindro}$ = $\pi$ $r^{2}$ h = $\pi$ $r^{2}(2r)$ = $2\pi$ $r^{3}$

$V_{cono}$ = $\frac{1}{3}@@MATH_0@@\pi$ $r^{3}$

$V_{cilindro}$ - $V_{conos}$ = $2\pi$ $r^{3}$ - $\frac{2}{3}@@MATH_0@@\pi$ $r^{3}$

$V_{esfera}$ = $\frac{4}{3}$ $\pi$ $r^{3}$

Glosario (5)

Principio de Cavalieri: Si dos sólidos tienen la misma altura y toda sección transversal paralela a la base tiene la misma área en ambos, entonces tienen el mismo volumen.
Esfera: Sólido formado por todos los puntos del espacio que equidistan de un punto llamado centro una distancia $r$.
Cono: Sólido con base circular y un vértice; su volumen es un tercio del cilindro de igual base y altura.
Cilindro recto: Sólido con dos bases circulares paralelas y eje perpendicular a ellas.
Sección transversal: Figura plana que resulta de cortar un sólido con un plano.

Preguntas para practicar

¿Por qué el volumen de la esfera es dos tercios del volumen del cilindro que la contiene con altura igual al diámetro?

Porque el cilindro de radio $r$ y altura $2r$ tiene volumen $2\pi r^{3}$, y la esfera tiene volumen $\frac{4}{3}\pi r^{3}$. Al dividir, $\frac{4}{3}\pi r^{3} \div 2\pi r^{3} = \frac{2}{3}$. Esta relación se justifica con el principio de Cavalieri al comparar secciones transversales de igual área.

Temas y conceptos clave

Principio de CavalieriVolumen de la esferaRelación entre volúmenes de esfera, cono y cilindroSecciones transversales de igual áreaCilindro de altura 2rConos extraídos del cilindroCuerpos generados por revolución de círculos

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se demuestra que el volumen de la esfera es 4/3 π r³?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué dice el principio de Cavalieri y para qué sirve?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué relación hay entre el volumen del cono, el cilindro y la esfera?

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📌 Antes de leer esto

• Área del círculo
• Volumen del cilindro
• Volumen del cono
• Nociones de secciones transversales de sólidos

Siguiente tema sugerido

Ejercicios de cálculo de volúmenes de esferas, conos y cilindros en contextos reales

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1491 caracteres

Se observa que ambas áreas, sin importar dónde se ubique el plano P, son iguales, así que es posible considerar el principio de Cavalieri, y entonces calcular el volumen del sólido de la derecha (el cilindro al que se le quitaron los conos) y así obtener el volumen del sólido de la izquierda (la esfera):

$V_{cilindro}=\pi r^{2}b=\pi r^{2}(2r)$

$V_{\mathrm{conos}}=\frac{1}{3}\pi r^{2}b=\frac{1}{3}\pi r^{2}(2r)$

Entonces:

$\begin{aligned}V_{\text{clindro}}-V_{\text{conos}}=\pi r^{2}(2r)-2\left(\frac{1}{3}\pi r^{2}(r)\right)\\=2\pi r^{3}-\frac{2}{3}\pi r^{3}\\=\frac{4}{3}\pi r^{3}\end{aligned}$

Esto quiere decir, por el principio de Cavalieri, que el volumen de una esfera de radio r también es $\frac{4}{3}\pi r^{3}$

Los sólidos esfera, cono y cilindro están vinculados en su forma, pero también en el cálculo de sus volúmenes. Así, por un lado, si las bases de un cilindro y un cono tienen el mismo radio, y sus alturas también son iguales, el volumen del cono será un tercio del que tiene el cilindro.

Por otro lado, si un cilindro recto tiene el mismo radio en su base que una esfera, y su altura es el doble del radio, el volumen de la esfera es dos tercios el volumen del cilindro.

Como se ha mostrado, los cálculos en los volúmenes de los tres sólidos están vinculados entre sí. Esta relación ocurre en buena medida porque los tres sólidos están construidos con superfi cies curvas que pueden, de una u otra manera, ser generadas a partir de círculos.

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