Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 3 EGB

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Principio de Cavalieri: volúmenes de esfera y cilindro perforado

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Respuesta rápida

$A_{\text{corte esfera}} = \pi r^{2} - \pi d^{2}$ y $A_{\text{corte cilindro}} = \pi r^{2} - \pi d^{2}$ . Son iguales, así que ambos sólidos tienen el mismo volumen.

📚 theory matematica ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 131

Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Contexto teórico

La página presenta una demostración geométrica basada en el principio de Cavalieri: si dos sólidos tienen la misma altura y todas las secciones transversales paralelas a la base tienen la misma área, entonces sus volúmenes son iguales.

Se comparan dos sólidos de altura $2r$ :

Una esfera de radio $r$ .
Un cilindro de radio $r$ y altura $2r$ , al que se le han extraído dos conos invertidos (uno superior y uno inferior) con vértice en el centro del cilindro.

Paso 1: Corte de la esfera

Un plano $P$ paralelo a la base corta la esfera a una distancia $d$ de su centro. La sección resultante es un círculo de radio $r_c$ .

Por el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo formado por $r$ , $d$ y $r_c$ :

$d^{2} + r_{c}^{2} = r^{2}$

Despejando $r_{c}^{2}$ :

$r_{c}^{2} = r^{2} - d^{2}$

El área del círculo obtenido es:

$A_{\text{corte esfera}} = \pi r_{c}^{2} = \pi (r^{2} - d^{2}) = \pi r^{2} - \pi d^{2}$

Paso 2: Corte del cilindro perforado

El mismo plano $P$ corta el cilindro (con los conos extraídos) generando una corona circular:

Radio exterior: $r$ (radio del cilindro).
Radio interior: $d$ (distancia del centro al plano de corte, que coincide con el radio del hueco cónico a esa altura).

El área de la corona circular es el área del círculo grande menos el área del círculo pequeño:

$A_{\text{corte cilindro}} = \pi r^{2} - \pi d^{2}$

Paso 3: Comparación y conclusión

Ambas áreas son iguales:

$A_{\text{corte esfera}} = \pi r^{2} - \pi d^{2} = A_{\text{corte cilindro}}$

Como esto se cumple para cualquier distancia $d$ , por el principio de Cavalieri los dos sólidos tienen el mismo volumen.

Respuesta: Las áreas de los cortes son iguales: $\pi r^{2} - \pi d^{2}$ . Por lo tanto, la esfera y el cilindro perforado tienen el mismo volumen.

Contenido de la página

Como la esfera tiene radio $r$ y el cilindro (al que se le han quitado los conos en su interior) tiene altura de $2r$ , los dos sólidos tienen la misma altura. Entonces, es posible ponerlos sobre un plano $a$ y hacer cortes con un plano $P$ paralelo al de la base.

Si se considera que el plano $P$ (el que corta a los dos sólidos) está a una distancia $d$ del centro de la esfera, entonces el cálculo de las áreas de los cortes del plano a los dos sólidos es el siguiente:

Para el caso de la esfera, se tiene que el corte generado es un círculo cuyo radio $(r_c)$ se puede obtener utilizando el teorema de Pitágoras para obtener $d^{2} + r_{c}^{2} = r^{2}$ . Al despejar, se tiene que $r_{c}^{2} = r^{2} - d^{2}$ y al calcular el área del círculo obtenido por el corte, se tiene:

$A_{\text{corte esfera}} = \pi r_{c}^{2} = \pi (r^{2} - d^{2}) = \pi r^{2} - \pi d^{2}$

Por otro lado, el mismo plano al cortar el otro sólido (el cilindro al que se le han quitado los conos) genera una corona circular, cuyo radio exterior es $r$ y con radio interior de medida $d$ . Y como el área de una corona circular se obtiene al calcular el área del círculo grande (con radio $r$ ) y luego restarle el cálculo del círculo chico (con radio $d$ ), lo que se obtiene es:

$A_{\text{corte cilindro}} = \pi r^{2} - \pi d^{2}$

Ejemplos resueltos

Verificar que las áreas de los cortes de la esfera y del cilindro perforado son iguales cuando el plano de corte está a una distancia $d$ del centro.

Para la esfera: $r_c^2 = r^2 - d^2$ , entonces $A = \pi r_c^2 = \pi(r^2 - d^2) = \pi r^2 - \pi d^2$ . Para el cilindro perforado: la sección es una corona circular de radio exterior $r$ y radio interior $d$ , entonces $A = \pi r^2 - \pi d^2$ . Ambas áreas coinciden.

Tabla

Sólido	Figura del corte	Área del corte
Esfera de radio $r$	Círculo de radio $r_c$	$\pi r^{2} - \pi d^{2}$
Cilindro perforado	Corona circular (radios $r$ y $d$ )	$\pi r^{2} - \pi d^{2}$

Diagrama

graph TD
    A[Esfera de radio r] --> B[Corte a distancia d]
    B --> C[Círculo de radio rc]
    C --> D[Área = πr² - πd²]
    E[Cilindro de radio r y altura 2r] --> F[Conos extraídos]
    F --> G[Corte a distancia d]
    G --> H[Corona circular]
    H --> I[Área = πr² - πd²]
    D --> J[Áreas iguales]
    I --> J
    J --> K[Principio de Cavalieri: volúmenes iguales]

Fórmulas y ecuaciones

$A_{$ $\text{corte esfera}$ } = $\pi$ $r^{2}$ - $\pi$ $d^{2}$

$A_{$ $\text{corte cilindro}$ } = $\pi$ $r^{2}$ - $\pi$ $d^{2}$

$d^{2}$ + $r_{c}^{2}$ = $r^{2}$

$r_{c}^{2}$ = $r^{2}$ - $d^{2}$

$A_{$ $\text{corte esfera}$ } = $\pi$ $r^{2}$ - $\pi$ $d^{2}$

$A_{$ $\text{corte cilindro}$ } = $\pi$ $r^{2}$ - $\pi$ $d^{2}$

Glosario (4)

Principio de Cavalieri: Si dos sólidos tienen la misma altura y sus secciones transversales a igual altura tienen la misma área, entonces tienen el mismo volumen.
Corona circular: Región plana comprendida entre dos círculos concéntricos; su área es la diferencia de las áreas de ambos círculos.
Sección transversal: Figura plana que resulta de cortar un sólido con un plano.
Radio de la sección esférica: Radio del círculo que se obtiene al cortar una esfera con un plano.

Preguntas para practicar

¿Por qué es importante que los dos sólidos tengan la misma altura para aplicar el principio de Cavalieri?

Porque el principio de Cavalieri exige que ambos sólidos estén comprendidos entre dos planos paralelos separados por la misma distancia. Si las alturas fueran distintas, no se podrían comparar sección por sección a la misma altura y la igualdad de volúmenes no quedaría garantizada.

¿Qué pasaría con el área del corte de la esfera si el plano pasara exactamente por el centro (d = 0)?

Si $d = 0$, el corte pasa por el centro y genera un círculo máximo de radio $r$. El área sería $\pi r^2 - \pi(0)^2 = \pi r^2$, que es el área máxima posible de cualquier sección esférica.

Temas y conceptos clave

Principio de CavalieriComparación de volúmenesSecciones de la esferaCilindro con conos extraídosCorte transversalCorona circularRadio de la sección esféricaIgualdad de áreasMisma altura

¿Te fue útil esta página?

Figuras de la página (1)

Ilustración de una esfera y un cilindro con dos conos invertidos en su interior, ambos atravesados por dos planos paralelos. Se muestran las secciones transversales: un círculo en la esfera y una corona circular en el cilindro. — Figura 1 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se demuestra que el volumen de una esfera es 4/3 πr³?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué dice el principio de Cavalieri y para qué sirve?

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¿Cómo se calcula el área de una corona circular?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Área del círculo
• Teorema de Pitágoras
• Concepto de volumen y sólidos geométricos
• Área de una corona circular

Siguiente tema sugerido

Cálculo del volumen de la esfera a partir del principio de Cavalieri

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1313 caracteres

Como la esfera tiene radio r y el cilindro (al que se le han quitado los conos en su interior) tiene altura de $2r,$ ,los dos sólidos tienen la misma altura. Entonces, es posible ponerlos sobre un plano a y hacer cortes con un plano P paralelo al de la base:

Si se considera que el plano P (el que corta a los dos sólidos) estáa una distancia d del centro de la esfera, entonces el cálculo de las áreas de los cortes del plano a los dos sólidos es el siguiente:

Para el caso de la esfera, se tiene que el corte generado es un círculo cuyo radio $(r_{c})\mathrm{se}$ puede obtener utilizando el teorema de Pitágoras para obtener $\dot{d}^{2}+r_{c}^{2}=r^{2}$ . Al despejar, se tiene que $r_{c}^{2}=r^{2}-d^{2}y$ .al calcular el área del círculo obtenido por el corte,se tiene:

$A_{corete,sfrea}=\pi r^{2}=\pi(r^{2}-d^{2})=\pi r^{2}-\pi d^{2}$

Por otro lado, el mismo plano al cortar el otro sólido (el cilindro al que se le han quitado los conos) genera una corona circular, cuyo radio exterior es r y con radio interior de medida d. Y como el área de una corona circular se obtiene al calcular el área del círculo grande (con radio r) y luego restarle el cálculo del círculo chico (con radio $d)$ , lo que se obtiene es:

$A_{correct}=\pi r^{2}-\pi d^{2}$

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