Volumen de un solido compuesto: medio cilindro y prisma

El cofre se puede ver como un solido geometrico que consta de medio cilindro y un prisma. La medida faltante corresponde a uno de los lados del prisma, que es a su vez el diametro del medio cilindro.

Se inicia con el planteamiento del volumen del solido como la suma de sus partes:

V = \frac{1}{2}V_c + V_p

En la expresion, V_c es el volumen del cilindro completo y V_p es el volumen del prisma.

Luego, se plantea el volumen del cilindro, teniendo en cuenta que su altura es 16 cm:

V_c = b_c \times a = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^{2}(16) = 16\frac{\pi}{4}d^{2} = 12.56d^{2}

Despues, se plantea el volumen del prisma:

V_p = b_p \times h = 12d \times 16 = 192d

Se remplazan los resultados en la expresion del volumen del solido:

V = \frac{1}{2}V_c + V_p = \frac{1}{2}12.56d^{2} + 192d = 6.28d^{2} + 192d

Al remplazar el valor del volumen total se obtiene una ecuacion cuadratica:

2548.3 = 6.28d^{2} + 192d \rightarrow 6.28d^{2} + 192d - 2548.3 = 0

Para su solucion se aplica la formula general:

d = \frac{-192 \pm \sqrt{(192)^{2} - 4(6.28)(-2548.3)}}{2(6.28)}

d = \frac{-192 \pm \sqrt{100\ 877.296}}{12.56} \approx 10

Si se desarrolla la ecuacion, se obtienen dos resultados d_1 = 10 y d_2 = -40.57, si se toma el valor positivo de la incognita, la medida que falta del cofre es de aproximadamente 10 cm.