Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 3 EGB

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Volumen de cilindros inclinados y principio de Cavalieri

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Respuesta rápida

$h_{c}=\frac{6}{0.64\pi}\approx 3\,\text{m}$ . La distancia del piso al techo es de aproximadamente 3 metros.

matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 4 min lectura

Solución — Página 142

Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejemplo 5

En una construcción se usaron dos columnas inclinadas de concreto autocompactante con volumen total de $6\,\text{m}^{3}$ . Se pide la distancia del piso al techo que sostienen.

Por el principio de Cavalieri, un cilindro inclinado tiene el mismo volumen que uno recto con igual base y altura; la altura representa la distancia del piso al techo.
Convertir el radio: $r = 80\,\text{cm} = 0.8\,\text{m}$ .
Calcular el área de la base: $b_{c} = \pi r^{2} = \pi (0.8\,\text{m})^{2} = 0.64\pi\,\text{m}^{2}$
Plantear el volumen: $V = b_{c} \times h_{c}$ , con $V = 6\,\text{m}^{3}$ : $6 = 0.64\pi \times h_{c}$
Despejar la altura: $h_{c} = \frac{6}{0.64\pi} \approx 2.98\,\text{m} \approx 3\,\text{m}$

Respuesta: La distancia del piso al techo es aproximadamente $3\,\text{m}$ .

Contenido de la página

Ejemplo 5

En una construcción se utilizaron columnas inclinadas como las que se muestran en la imagen. Ambas columnas son de concreto autocompactante y ocupan un volumen de $6\,\text{m}^{3}$ . A continuación se utiliza esta información para determinar la distancia que existe del piso al techo que sostienen.

Los cilindros están inclinados, pero debido al principio de Cavalieri, se recurre directamente a la fórmula de volumen de un cilindro, cuya altura representará la distancia del piso al techo. Es conveniente utilizar el metro como unidad porque el volumen está en metros cúbicos.

Cada columna tiene un radio de $80\,\text{cm}$ o $0.8\,\text{m}$ , así que su base es: $b_{c} = \pi r^{2} = \pi (0.8\,\text{m})^{2} = 0.64\pi\,\text{m}^{2}$
Se plantea la expresión de su volumen para obtener su altura: $V = b_{c} \times h_{c} \rightarrow 6 = 0.64\pi \times h_{c}$
Se calcula la altura: $h_{c} = \frac{6}{0.64\pi} \approx 3$

La distancia del piso al techo es aproximadamente de $3\,\text{m}$ .

Muchas situaciones relacionadas con la construcción requieren el cálculo de volúmenes de sólidos geométricos, ya que esta información permite obtener datos como la cantidad de material e incluso su masa. En estos diseños, se pueden encontrar sólidos de formas variadas, pero en ocasiones es posible descomponer el sólido en casos básicos como prismas, pirámides y cilindros.

Para el análisis de casos básicos para el cálculo de volúmenes de sólidos geométricos hay métodos parecidos, aunque los sólidos sean diferentes. La aplicación de las técnicas en algunos casos prácticos ofrece un panorama de su utilidad en problemáticas cotidianas.

Ejemplos resueltos

Dos columnas cilíndricas inclinadas de concreto ocupan un volumen de $6\,\text{m}^{3}$ y tienen radio de $80\,\text{cm}$ . Determina la distancia del piso al techo.

Convertir el radio: $r = 0.8\,\text{m}$ .
Calcular el área de la base: $b_{c} = \pi (0.8)^{2} = 0.64\pi\,\text{m}^{2}$ .
Plantear el volumen: $6 = 0.64\pi \times h_{c}$ .
Despejar: $h_{c} = \frac{6}{0.64\pi} \approx 2.98\,\text{m}$ .

Respuesta: aproximadamente $3\,\text{m}$ .

Diagrama

graph TD
  A[Columnas inclinadas] --> B[Principio de Cavalieri]
  B --> C[Fórmula del cilindro: V = b_c × h_c]
  C --> D[Área de la base: b_c = π r²]
  D --> E[Despejar altura: h_c = V / b_c]
  E --> F[Distancia piso-techo ≈ 3 m]

Fórmulas y ecuaciones

$b_{c}$ = $\pi$ $r^{2}$ = $\pi$ $(0.8)^{2}$ = $0.64\pi\$ , $\text{m}$ $^{2}$

6 = $0.64\pi$ $\times$ $h_{c}$

$h_{c}$ = $\frac{6}{0.64\pi}$ $\approx$ $3\$ , $\text{m}$

$b_{c}$ = $\pi$ $r^{2}$

V = $b_{c}$ $\times$ $h_{c}$

$h_{c}$ = $\frac{V}{b_{c}}$

Glosario (3)

Principio de Cavalieri: Si dos cuerpos tienen la misma altura y sus secciones transversales a igual altura tienen la misma área, entonces tienen el mismo volumen.
Concreto autocompactante: Mezcla de concreto que fluye por su propio peso sin necesidad de vibrado, usada en elementos estructurales.
Metro cúbico: Unidad de volumen equivalente al espacio ocupado por un cubo de 1 m de arista.

Preguntas para practicar

¿Por qué se puede aplicar la fórmula del cilindro recto a columnas inclinadas?

Por el principio de Cavalieri: si dos sólidos tienen la misma altura y sus secciones transversales a la misma altura tienen igual área, entonces tienen el mismo volumen. Un cilindro inclinado y uno recto con la misma base y altura cumplen esta condición, por lo que comparten la fórmula $V = b_{c} \times h_{c}$.

Temas y conceptos clave

Volumen de cilindrosPrincipio de CavalieriAplicaciones en construcciónCilindro inclinadoAltura del cilindroÁrea de la baseConcreto autocompactanteMetro cúbico

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Figuras de la página (1)

Dos columnas cilíndricas inclinadas de concreto, con una separación de 80 cm entre sus ejes superiores; se muestran las bases elípticas y los ejes punteados. — Figura 1 image

Preguntas que la gente también hace

¿Qué dice el principio de Cavalieri y cómo se aplica a cilindros inclinados?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se calcula la altura de un cilindro si se conoce su volumen y su radio?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Por qué se puede usar la fórmula del cilindro recto en columnas inclinadas?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Área del círculo
• Fórmula del volumen del cilindro
• Conversión de unidades de longitud
• Despeje de variables

Siguiente tema sugerido

Cálculo de volúmenes de prismas y pirámides en contextos cotidianos

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Ejemplo5

En una construcción se utilizaron columnas inclinadas como las que se muestran en la imagen. Ambas columnas son de concreto autocompactante y ocupan un volumen de 6 m3. A continuación se utiliza esta información para determinar la distancia que existe del piso al techo que sostienen.

Cada columna tiene un radio de 80 cm o 0.8 m, así que su base es:

$b_{e}=\pi r^{2}=\pi(0.8\ m)^{2}=0.64\pi\ m^{2}$

c Se plantea la expresión de su volumen para obtener su altura:

$V=b_{c}\times b_{c}\rightarrow6=0.64\pi\times b_{c}$

Se calcula laaltura:

$b_{c}=\frac{6}{0.64\pi}\approx3$

La distancia del piso al techo es aproximadamente de 3 m.

Muchas situaciones relacionadas con la construcción requieren el cálculo de volúmenes de sólidos geométricos, ya que esta información permite obtener datos como la cantidad de material e incluso su masa. En estos disenos, se pueden encontrar sólidos de formas variadas, pero en ocasiones es posible descomponer el sólido en casos básicos como prismas, pirámides y cilindros.

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