Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 3 EGB

SEP/CONALITEG

137/339

Volumen del cilindro a partir del volumen de prismas

📄 teoria matematica 🎓 bachillerato · 3° Secundaria México 🇲🇽 MX 🗣 Español

Página 137

137 de 339

Anterior Página 137 / 339 Siguiente

Respuesta rápida

El volumen del cilindro es $V = \pi r^{2} h$ , donde $r$ es el radio de la base y $h$ la altura. Se deduce como límite del volumen de prismas con base poligonal regular.

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 4 min lectura

Solución — Página 137

Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Explicación del contenido

La página no propone ejercicios numéricos; es una página teórica que deduce la fórmula del volumen del cilindro a partir del volumen de prismas rectos con base poligonal regular.

Se parte de un prisma recto cuya base es un polígono regular de $n$ lados. Su volumen es $V = b \times h$ , donde $b$ es el área de la base y $h$ la altura.
Si se aumenta el número de lados del polígono de la base, su área se aproxima cada vez más al área de un círculo: $b \to \pi r^{2}$ .
En el límite, cuando $n \to \infty$ , el prisma se convierte en un cilindro. Por lo tanto:

$V_{\text{cilindro}} = b \times h = \pi r^{2} \times h$

Respuesta orientativa: El volumen del cilindro se obtiene como el producto del área de su base circular por su altura: $V = \pi r^{2} h$ . Esta fórmula es el límite de la fórmula del prisma cuando el polígono de la base tiende a un círculo.

Nota sobre el principio de Cavalieri

El texto final menciona que el principio de Cavalieri permite calcular el volumen de sólidos geométricos inclinados (oblicuos). Este principio establece que si dos sólidos tienen la misma altura y sus secciones transversales a igual altura tienen la misma área, entonces tienen el mismo volumen. Gracias a él, la fórmula $V = \pi r^{2} h$ también es válida para cilindros oblicuos.

Contenido de la página

Como el cubo y la pirámide tienen la misma base y altura, entonces el volumen de ambas pirámides es un tercio del producto de su base por su altura.

Cilindro

El volumen de un cilindro se puede determinar con ayuda del volumen de los prismas que tiene un polígono regular como base.

En la siguiente imagen se muestra una secuencia de prismas, en la que aumenta el número de lados de la base de cada polígono.

A medida que aumenta el número de lados del polígono de la base del prisma, su área se aproxima a la de un círculo. Con esto, el volumen del prisma se acerca al volumen de un cilindro a medida que aumenta el número de caras laterales.

Por la comparación del volumen de un cilindro y un prisma recto con polígono regular como base, se tiene que el volumen de un cilindro $V_{\text{cilindro}}$ se calcula con la fórmula:

$V_{\text{cilindro}} = b \times h$

En la que $h$ es la altura del cilindro y $b$ es el área de su base. En términos del radio del cilindro, el volumen es:

$V_{\text{cilindro}} = \pi r^{2} \times h$

Tomando como base el cubo, se pueden deducir diferentes técnicas para calcular el volumen de algunos sólidos geométricos. Adicionalmente, se cuenta con el principio de Cavalieri, que permite calcular el volumen de sólidos geométricos inclinados. Las fórmulas que se obtienen están en términos de las principales medidas del sólido geométrico, como son su altura y el área de su base.

Diagrama

graph LR
  A[Prisma base triangular] --> B[Prisma base hexagonal]
  B --> C[Prisma con polígono de 30 lados]
  C --> D[Cilindro]
  D --> E[V = π r² h]

Fórmulas y ecuaciones

$V_{$ $\text{cilindro}$ } = $\pi$ $r^{2}$ h

$V_{$ $\text{cilindro}$ } = b $\times$ h

$V_{$ $\text{cilindro}$ } = $\pi$ $r^{2}$ $\times$ h

Glosario (6)

Cilindro: Cuerpo geométrico limitado por una superficie cilíndrica y dos bases circulares paralelas.
Prisma: Poliedro con dos bases paralelas e iguales que son polígonos, y caras laterales que son paralelogramos.
Polígono regular: Polígono que tiene todos sus lados y ángulos iguales.
Principio de Cavalieri: Si dos sólidos tienen la misma altura y sus secciones transversales a igual altura tienen la misma área, entonces tienen el mismo volumen.
Base: Cara inferior o superior de un cuerpo geométrico sobre la que se apoya.
Altura: Distancia perpendicular entre las bases de un cuerpo geométrico.

Preguntas para practicar

¿Por qué la fórmula del volumen del cilindro es un caso límite de la fórmula del volumen del prisma?

Porque al aumentar indefinidamente el número de lados del polígono de la base de un prisma, su área tiende al área de un círculo y el prisma tiende a un cilindro. Así, el volumen del prisma $b \times h$ se transforma en $\pi r^{2} h$.

¿Qué utilidad tiene el principio de Cavalieri en el cálculo de volúmenes?

Permite afirmar que dos sólidos con la misma altura y secciones transversales de igual área tienen el mismo volumen, aunque uno esté inclinado. Gracias a esto, la fórmula $V = \pi r^{2} h$ también se aplica a cilindros oblicuos.

Temas y conceptos clave

Volumen del cilindroDeducción por aproximación con prismasPrincipio de CavalieriVolumenCilindroPrismaPolígono regularBaseAlturaRadioPrincipio de Cavalieri

¿Te fue útil esta página?

Figuras de la página (2)

Secuencia de tres prismas: base triangular, base hexagonal y base de 30 lados, que ilustran la aproximación al cilindro. — Figura 1 image

Etiquetas bajo cada prisma: 'Prisma de base triangular', 'Prisma de base hexagonal' y 'Prisma con polígono de 30 lados como base'. — Figura 2 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se deduce la fórmula del volumen del cilindro?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué relación hay entre el volumen de un prisma y el de un cilindro?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué dice el principio de Cavalieri y para qué sirve?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Área de polígonos regulares
• Área del círculo
• Volumen de prismas rectos
• Noción de límite o aproximación

Siguiente tema sugerido

Volumen del cono y de la esfera

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1593 caracteres

Como el cubo y la pirámide tienen la misma base y altura, entonces el volumen de ambas pirámides es un tercio del producto de su base por su altura.

Cilindro

El volumen de un cilindro se puede determinar con ayuda del volumen de los prismas que tiene un polígono regular como base.

En la siguiente imagen se muestra una secuencia de prismas, en la que aumenta el número de lados de la base de cada polígono.

A medida que aumenta el número de lados del poligono de la base del prisma, su área se aproxima a la de un círculo. Con esto, el volumen del prisma se acerca al volumen de un cilindro a medida que aumenta el número de caras laterales.

Por la comparación del volumen de un cilindro y un prisma recto con polígono regular como base, se tiene que el volumen de un cilindro $V_{\mathrm{cilindro}}$ se calcula con la fórmula:

$V_{cilindro}=b\times b$

En la que a es la altura del cilindro y b es el área de su base. En términos del radio del cilindro, el volumen es:

$V_{c l i n d r o}=\pi r^{2}\times h$

136

![](page=0,bbox=[274, 519, 425, 785])

Prisma de base triangular

Prisma de base hexagonal

![](page=0,bbox=[746, 532, 899, 802])

Prisma con poligono de 30 lados como base

Páginas cercanas